Pierwiastek arytmetyczny
Z Wikipedii
Pierwiastek arytmetyczny (symbol: , dla pierwiastka kwadratowego stopień n = 2 standarodowo pomijany: ) – działanie odwrotne do potęgowania.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech będzie liczbą naturalną, zaś będzie liczbą rzeczywistą. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia z nazywamy nieujemną liczbę , spełniająca równość .
Pierwiastki niskich stopni otrzymały nazwy zwyczajowe pochodzące od odpowiednich nazw zwyczajowych potęg, jeżeli
- , to pierwiastek nazywamy kwadratowym;
- , to pierwiastek nazywamy sześciennym.
Pierwiastek oznaczamy symbolem lub . W symbolu pierwiastka kwadratowego zwykle nie umieszcza się stopnia: . Jeżeli , to pierwiastek jest równy pierwiastkowanej liczbie.
[edytuj] Własności
Jeżeli , to
- ,
- dla ,
- ,
- ,
- .
[edytuj] Uogólnienia
Można rozszerzyć definicję pierwiastka arytmetycznego dla nieparzystych stopni przyjmując, że dla x < 0 wartość pierwiastka jest ujemna, tzn. .
Wówczas dla dowolnego
Wyżej wspomniane własności pozwalają na uogólnienie definicji potęgi liczby nieujemnej tak, by wykładnik był liczbą wymierną (zob. artykuł potęga). Poprzez przejścia graniczne możliwe jest dalsze uogólnienie na wykładniki rzeczywiste.
Uogólnieniem pojęcia pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone jest pierwiastek algebraiczny.