Płaty Béziera

Z Wikipedii

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

[edytuj] Prostokątne płaty powierzchni Béziera

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych $u, v$ odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

$[0,1] \times [0,1] \to \mathbb R^k$

Płat jest stopnia $n$ względem parametru $u$ i stopnia $m$ względem parametru $v$ .

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia $(n, m)$ potrzebne jest $(n+1) \cdot (m+1)$ punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – $p i j$ to punkt w i-tym wierszu i j-tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli $p i j$ - $p i (j + 1)$ , albo $p i j$ - $p (i + 1) j$ ).

Łamana której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie $i$ nazywana jest wierszem, o stałym indeksie $j$ kolumną.

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

$p(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m p_{ij} B_i^n(u) B_j^m(v)$ dla $u,v \in [0,1]$

$B_i^n$ , $B_j^m$ - wielomiany bazowe Bernsteina

W praktyce obliczenie punktu $p (u, v)$ przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

$p(u,v) = \sum_{i=0}^n \left(\sum_{j=0}^m p_{ij} B_j^m(v)\right) B_i^n(u)$
$p(u,v) = \sum_{j=0}^m \left(\sum_{i=0}^n p_{ij} B_i^n(u)\right) B_j^m(v)$

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru $u$ ( $v$ ). Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru $v$ ( $u$ ) znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

[edytuj] Trójkątne płaty Béziera

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń $\mathbb R^n$ . Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych $B_{ijk}^n(r,s,t)$ .

Zmienne $r$ , $s$ , $t$ przy założeniu, że $r + s + t = 1$ ( $r,s,t \in [0,1]$ ) są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie - te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty $(r = 1, s = 0, t = 0)$ , $(r = 0, s = 1, t = 0)$ , $(r = 0, s = 0, t = 1)$ .

Punkt płata trójkątnego stopnia $n$ dany jest wzorem:

$p(r,s,t) = \sum p_{ijk} B_{ijk}^n (r,s,t)$ , gdzie $i,j,k \ge 0$ , $i,j,k = 0,1,2,\ldots$ oraz $i + j + k = n$

Sumowanie przebiega po wszystkich $i$ , $j$ , $k$ spełniających warunek $i + j + k = n$ .

Do określenia płata stopnia $n$ potrzebne jest $(n+1)(n+2) \over 2$ punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.