Liczby Armstronga

Z Wikipedii

Liczba Armstronga (narcystyczna) - n-cyfrowa liczba naturalna która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi n.

[edytuj] Definicja

Niech będzie liczbą naturalną z reprezentacją a_na_{n − 1}...a₁ w systemie o podstawie b (tak więc dla ). Jeśli dla pewnej liczby naturalnej m zachodzi

to powiemy, że a jest m-narcystyczną liczbą w bazie b .

Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narystyczna liczba w bazie dziesiętnej. Tak więc liczby narcystyczne to n-cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:

gdzie: a_n, a_{n − 1}, ..., a₁ to kolejne cyfry liczby (od najbardziej znaczącej do najmniej znaczącej)

[edytuj] Własności

• Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne różne od jedności:

153 = 1³ + 5³ + 3³

370 = 3³ + 7³ + 0³

371 = 3³ + 7³ + 1³ oraz

407 = 4³ + 0³ + 7³.

• Jeśli x jest liczbą narcystyczną, to

Ponieważ 10^{n − 1} > n9ⁿ dla , to z powyższych nierówności wnioskujemy, że istnieje skończona ilość liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb.