Dyskusja:Liczby p-adyczne
Z Wikipedii
wydaje mi sie ze liczba p w tym akrykule powinna oznaczac liczbę pierwsza co powoduje ze liczb 10-adycznych nie ma
Z całą pewnością liczba p w tym artykule powinna oznaczać liczbę pierwszą. Poza tym, to co nazywane jest tutaj liczbami p-adycznymi powinno być nazwane całkowitymi liczbami p-adycznymi. Liczby p-adyczne tworzą ciało, a całkowite liczby p-adyczne tworzą pierścień zawarty w tym ciele. Co do działań dodawania, odejmowania i mnożenia w pierścieniu całkowitych liczb p-adycznych, to można próbować bronić przedstawionej interpretacji. Jeśli natomiast chodzi dzielenie, to jest ono czymś zupełnie innym niż w przypadku liczb całkowitych. Świadczy o tym chociażby fakt, że każda całkowita liczba p-adyczna, która nie jest podzielna przez p jest odwracalna w tym pierścieniu (przypominam, że w przypadku pierścienia liczb całkowitych elementami odwracalnymi są jedynie +1 i -1).
[edytuj] Dopracować
Przenoszę ze swojej dyskusji (na razie nie mma czasu tego zintegrować z artykułem) odpowiedż cmmsigma na prośbę o rozwinięcie powyższego wpisu. Olaf @ 22:29, 20 mar 2007 (CET)
Jeśli chodzi o źródło, to używam książki p-adic Numbers autorstwa Fernando Q. Gouvea. Poza tym sporo jest w Teorii ciał Jerzego Browkina, ale tam to wszystko napisane jest z bardzo ogólnego punktu widzenia. Jeśli chodzi o artykuł, to nie mam zastrzeżeń co do sposobu reprezentacji liczb. To przy jakiej podstawie się je zapisuje nie ma tutaj żadnego znaczenia. Ale nie można nazwać liczy 10-adyczną tylko z tego powodu, że jej reprezentacja składa się z cyfr [0..9]. Tutaj chodzi przede wszystkim o istnienie nietrywialnej normy w ciele liczb wymiernych. Taka norma powinna spełniać następujące trzy własności:
- | x | = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0,
- | xy | = | x | | y |
.
Jeśli chodzi o normę p-adyczną to definiujemy ją jako: 
, gdzie c jest pewną liczbą rzeczywistą większą do 1, a funkcja vp nazywana jest waluacją i określa z jaką potęgą wchodzi liczba p do rozkładu liczby x na czynniki (jeśli x jest ułamkiem, to wykładniki czynników mianownika bierzemy ze znakiem minus). Z twierdzenia Ostrowskiego wynika, że w ciele liczb wymiernych nietrywialnymi normami są tylko:
- normy p-adyczne
- norma nieskończona (klasyczna wartość bezwzględna).
Uzupełnienie przestrzeni liczb wymiernych względem pierwszej normy daje nam liczby p-adyczne, a względem drugiej daje nam liczby rzeczywiste. Z tego punktu widzenia istnienie czegoś takiego, jak norma 10-adyczna nie może mieć miejsca, gdyż mielibyśmy wówczas | 2 | 10 = 1, | 5 | 10 = 1 i dalej 1 = | 2 | 10 | 5 | 10 = | 10 | 10 = c > 1. Pozdrawiam Cmmsigma 09:08, 14 mar 2007 (CET)
[edytuj] Miara zbioru liczb p-adycznych
Zastanawia mnie (dość długo szukałem literatury na ten temat, niestety bezskutecznie) jakiej miary (Lebesgue'a) na prostej jest zbiór liczb p-adycznych (czy też p-adycznych całkowitych), dla ustalonego p. Intuicja podsuwa myśl, że miary zero (ze względu na homeomorficzność ze zbiorem Cantora, ale jak wiadomo homeomorfizmy, na ogół, nie zachowują zbiorów miary zero - więc nawet w konsekwencji nie zachowują mierzalności zbiorów). Czy ktoś byłby w stanie udzielić stosownych informacji i wskazać odpowiednie źródła? Pozdrawiam, Loxley 23:08, 8 maja 2007 (CEST)
Nie ma sensownej odpowiedzi na tak postawione pytanie, gdyż zbiór liczb p-adycznych nie zawiera się w prostej rzeczywistej. Cmmsigma 11:17, 29 maja 2007 (CEST)
