Lemat Lindenbauma
Z Wikipedii
Lemat Lindenbauma, jedno z twierdzeń metamatematycznych, zwane tradycyjnie "lematem". Sformułowane przez polskiego logika ze szkoły lwowsko-warszawskiej, Adolfa Lindenbauma. Ma ono szerokie zastosowanie w teorii modeli, m.in. w dowodach twierdzenia o pełności tzw. metodą henkinowską.
Lemat Lindenbauma głosi, że dowolny niesprzeczny zbiór formuł można rozszerzyć do niesprzecznego i zupełnego zbioru formuł.
Zapis formalny jest następujący (przez X oznaczamy zbiór formuł a przez Fm zbiór wszystkich formuł nad danym przeliczalnym alfabetem):
Spis treści |
[edytuj] Dowód lematu Lindenbauma
Tw. .
Dowód:
Niech X będzie zbiorem niesprzecznym. Niech ciąg formul będzie wyliczeniem zbioru formuł Fm. Taki ciąg istnieje, bo formuł jest przeliczalnie wiele. Określmy:
- Y0 = X,
- ,
- .
[Oznaczenia będziemy używać aby pokazać, że chodzi o użycie metajęzykowe. Zazwyczaj stosuje się w tym celu cudzysłowy quine'owskie (popularnie zwane "rogami"), które ze względu na ograniczenia techniczne Wikipedii nie są dostępne.]
Aby udowodnić lemat Lindenbauma, musimy pokazać trzy rzeczy: (a) zawieranie się X w Y, (b) zupełność Y i (c) niesprzeczność Y.
[edytuj] Zawieranie się
. Z konstrukcji i Y0 = X. Zatem X zawiera się w Y.
[edytuj] Zupełność Y
Twierdzimy, że Y jest zupełny, czyli . Dowód: Ustalmy . Niech . Są dwa przypadki:
- Przypadek 1. ;
- Przypadek 2. .
Ad 1: , więc .
Ad 2: , więc .
[edytuj] Niesprzeczność Y
Twierdzimy, że Y jest niesprzeczny. Dowodzimy przez indukcję po n, że dla każdego n Yn jest niesprzeczne:
(0) Y0 jest niesprzeczny z założenia. [krok zerowy]
(i) załóżmy, że Yn jest niesprzeczny. [założenie indukcyjne]
(T) Yn + 1 jest niesprzeczny. [teza indukcyjna]
Fakt:
- Przypadek 1. . Z definicji Yn: . Z Faktu: jest niesprzeczny.
- Przypadek 2. . Wtedy . Cn(Yn) = Cn(Yn + 1). Z (i), Yn + 1 jest niesprzeczny.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Bibliografia
- Woleński, Jan. Filozoficzna szkoła lwowsko-warszawska. PWN, Warszawa 1985.