Długość łuku

Z Wikipedii

Długość łuku — jeżeli krzywa postaci y=f(x) ma w przedziale ${a}\leq{x}$ i ${b}\geq{x}$ pochodną ciągłą, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem

$L=\int\limits_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx$

a różniczka łuku wyraża się wtedy wzorem

$dL= \sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx$

Jeżeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań x=g(t), y=h(t), przy czym funkcje g(t) i h(t) mają w przedziale ${t_{1}}\leq{t}$ i ${t_{2}}\geq{t}$ ciągłe pochodne oraz łuk nie ma części wielokrotnych, to długość łuku wyraża się wzorem

$L=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\;dt$

a różniczka łuku wzorem

$dL= \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\;dt$

Jeżeli krzywa dana jest równaniem we współrzędnych biegunowych r=v(θ), przy czym funkcja v(θ) ma w przedziale ${\alpha}\leq{\theta}$ i ${\beta}\geq{\theta}$ ciągła pochodną i łuk nie ma części wielokrotnych, to długość łuku wyraża się wzorem

$L=\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2+[r'(\theta)]^2}\;d\theta$

a różniczka łuku wzorem

$dL= \sqrt{r^2+[r'(\theta)]^2}\;d\theta$

[edytuj] Przykład

Oblicz długość łuku cykloidy opisanej równaniem parametrycznym $\left \{ {{x(t)=a(t-\sin{t})} \atop {y(t)=a(1-\cos{t})}} \right.$ , gdzie $a > 0$ i $t \in [0; 2\pi]$

Rozwiązanie Obliczamy pochodne: $\left \{ {{x'(t)=a(1-\cos{t})} \atop {y'(t)=a \sin{t}}} \right.$

Podstawiamy do wzoru: $L=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{[x'(t)]^2+[(y'(t)]^2}\;dt$
czyli
$L=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{[a(1-\cos{t})]^2+[a\sin{t}]^2}\;dt= \int\limits_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2\sin^2{t}}\;dt$ $=a\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{1-2\cos{t}+\cos^2{t}+\sin^2{t}}\;dt=a\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{1-2\cos{t}+1}\;dt$ $=a\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{2-2\cos{t}}\;dt=a\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos{t})}\;dt$

Korzytamy ze wzoru trygonometrycznego $1-\cos{t}=2\sin^2{\frac{t}{2}}$

$L=a\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{4\sin^2{\frac{t}{2}}}\;dt=2a\int\limits_0^{2\pi} \bigg| \sin{\frac{t}{2}}\bigg|\;dt$
ponieważ w granicach całkowania ${0}\leq{t}$ i ${2\pi}\geq{t}$ wyrażenie $\sin{\frac{t}{2}}$ jest dodatnie zatem
$L= 2a\int\limits_0^{2\pi} \sin{\frac{t}{2}}\;dt=2a(-2\cos{\frac{t}{2}})\bigg|_0^{2\pi}=8a$