Certyfikat pierwszości

Z Wikipedii

W teorii liczb, certyfikat pierwszości albo dowód pierwszości to zwięzły formalny dowód że dana liczba jest pierwsza, który można szybko zweryfikować – w przeciwieństwie do czasochłonnego przeprowadzenia testu pierwszości. Istnienie certyfikatów pierwszości dowiodło że problem znajdowania liczb pierwszych leży w klasie NP: problemów których rozwiązania można sprawdzić w czasie wielomianowym.

[edytuj] Certyfikaty Pratta

Najbardziej znanymi certyfikatami pierwszości (choć nie pierwszymi wynalezionymi) sa tzw. certyfikaty Pratta, wynalezione przez Pratta w 1975 r. Bazują one na odwróceniu małego twierdzenia Fermata z dodanym warunkiem który uzupełnia to odwrócenie:

Załóżmy że znamy liczbę całkowitą x taką że:

x jest względnie pierwsza z n
x ^{n −1} ≡ 1 (mod n)
Dla każdej liczby pierwszej p która dzieli n −1, nie zachodzi x^{(n −1)/p} ≡ 1 (mod n).

Wtedy n jest liczbą pierwszą

Znając taką liczbę x (nazywaną świadkiem) i rozkład na czynniki pierwsze n −1, powyższe warunki można szybko sprawdzić: wymaga to liniowej liczby działań na potęgach (bo każda liczba ma mniej dzielników pierwszych niż cyfr), z których każde wymaga O(log n) mnożeń (przy zastosowaniu szybkiego potęgowania).

Niestety powyższy algorytm można oszukać tak żeby zaakceptował liczbę złożoną. W tym celu można podać mu fałszywy rozkład na czynniki pierwsze n −1, w którym będą znajdowały się liczby złożone. Przykładowo załóżmy że twierdzimy że 85 jest pierwsza, podając świadka x=4 i równanie 84=6×14 jako rozkład n −1. Wtedy:

4 jest względnie pierwsze z 85
4⁸⁵⁻¹ ≡ 1 (mod 85)
4^(85−1)/6 ≡ 16 (mod 85), 4^(85−1)/14 ≡ 16 (mod 85)

Algorytm wywnioskuje że 85 jest pierwsza. Zauważmy że nie możemy samodzielnie szukać rozkładu n −1 na czynniki pierwsze, ponieważ nie znamy algorytmu który robi to w wielomianowym czasie.

Lepszym sposobem rozwiązania tego problemu jest udostępnienie certyfikatów pierwszości również dla każdego czynnika n −1: w tej samej postaci, ale mniejszych i łatwiejszych do sprawdzenia. Postępujemy w ten sposób rekurencyjnie, aż dojdziemy do czynników o których wiemy że są pierwsze (np. do 2). Kompletny certyfikat ma wtedy postać drzewa ze znanymi liczbami pierwszymi w liściach. Przykładowe drzewo udowadniające że 229 jest liczbą pierwszą może wyglądać tak:

229 (x=6, 229−1 = 2²×3×19)
- 2 (znana liczba pierwsza)
- 3 (x=2, 3−1 = 2)
  - 2 (znana liczba pierwsza)
- 19 (x=2, 19−1 = 2×3²)
  - 2 (znana liczba pierwsza)
  - 3 (x=2, 3−1 = 2)
    - 2 (znana liczba pierwsza)

Zauważmy że iloczyn liczb na każdym poziomie drzewa jest nie większy niż początkowa liczba, a więc drzewo ma rozmiar liniowy. Liczba poziomów jest logarytmiczna, ponieważ n −1 dzieli się przez 2 dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych. Tym samym weryfikacja całego drzewa jest trwa co najwyżej O(log n) razy dłużej niż pierwotny algorytm.

W praktyce generowanie certyfikatów Pratta dla dużych liczb jest trudne do zrealizowania, ponieważ wymaga rozłożenia na czynniki pierwsze n −1. W szczególnych wypadkach jest to łatwe (np. dla liczb Fermata), ale w ogólności używa się certyfikatów łatwiejszych do wygenerowania takich jak certyfikaty Atkin-Goldwasser-Kilian-Morain.