Logische conjunctie
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is logische conjunctie (symbool EN of AND) een logische operator die twee proposities met elkaar verbindt, zodanig dat de conjunctie van beide waar is als beide operanden waar zijn.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
In de logica en technische domeinen die het begrip gebruiken, is de conjunctie of EN een logische operator uit de propositielogica. Het resultaat van het samenvoegen van twee proposities wordt hun conjunctie genoemd. De conjunctie is waar als en slechts als beide gecombineerde proposities waar zijn; anders is de conjuctie onwaar. Een onderdeel van een conjunctie wordt een conjunct genoemd.
Voor twee ingangen A en B, wordt de waarheidstabel van de operator:
| A | B | A EN B |
|---|---|---|
| F | F | F |
| F | T | F |
| T | F | F |
| T | T | T |
Intuïtief gezien werkt de logische operator op dezelfde manier als het gewone Nederlandse wood "en". De zin "Het regent en ik ben binnen" verzekert je dat de beide delen tegelijkertijd waar zijn: zowel dat het regent, als dat ik binnen ben. Logisch gezien zou men dit voorstellen door de bewering A te gebruiken voor "Het regent", B voor "Ik ben binnen" , samen dus A EN 'B.
Bijvoorbeeld, beschouw:
- x > 13 EN x < 27.
Als x gelijk is aan 36, dan is x > 13 waar, maar x < 27 is onwaar, de bewering is dus onwaar. Maar als x nu 20 is, dan zijn beide delen van de bewering waar, en dus is heel de conjunctie waar.
De uitbreiding van de conjunctie voor een (eventueel oneindige) verzameling van beweringen is de universele kwantificatie uit de predikatenlogica.
Als deductieregel is conjunctie een geldige, eenvoudige bewijsvorm:
- A
- B
dus
- A EN B.
of genoteerd met logische operatoren:
- A,
- B
Het bewijs heeft twee premisses. De eerste is het linkerlid, het tweede het rechterlid. Uit deze twee premisses kan logisch besloten worden dat A EN B eveneens waar moet zijn.
Dit is een voorbeeld van een bewering die de vorm van een conjunctie heeft:
- Iedereen zou moeten stemmen.
- Democratie is de beste regeringsvorm.
- Dus, iedereen zou moeten stemmen en democratie is de beste regeringsvorm.
[bewerk] Associativiteit en commutativiteit
Een reeks conjunctie kan aan elkaar geketend worden, zoals A EN B EN C, wat logisch equivalent is aan zowel (A EN B) EN C als aan A EN (B EN C). Deze uitdrukking is waar als A, B, en C alle gelijktijdig waar zijn. Anders gezegd: de conjunctie is associatief. De conjunctie is eveneens commutatief : A EN B is hetzelfde als B EN A.
[bewerk] Symbool
Het symbool "
" wordt vaak gebruikt voor de conjunctie, "P Q" wordt gelezen als "P en Q". Het woord "EN" of het Engelse "AND" in drukletters wordt ook gebruikt, net als de gewone woorden "en" en "and".
[bewerk] Bitsgewijze bewerking
Logische conjunctie wordt vaak gebruikt in bitsgewijze bewerkingen. Voorbeelden:
- 0 en 0 = 0
- 0 en 1 = 0
- 1 en 0 = 0
- 1 en 1 = 1
- 1100 en 1010 = 1000
Merk op dat in computerwetenschappen de operator EN gebruikt kan worden om een bit op 0 te zetten door een EN-bewerking van die bit met 0.
