Faseruimte
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De theoretische mechanica hanteert het begrip faseruimte om de verzameling van alle mogelijke toestanden en snelheden van een mechanisch systeem te modelleren. De term werd voor het eerst gebruikt in de statistische mechanica, door Willard Gibbs in 1901.
Inhoud |
[bewerk] Verantwoording
De basiswetten van de mechanica, zowel in de oorspronkelijke formulering door Isaac Newton als in de latere veralgemeningen door Joseph-Louis Lagrange en William Rowan Hamilton, leggen een verband tussen de ogenblikkelijke toestand van een systeem (bijvoorbeeld de onderlinge stand van de hemellichamen) en de versnelling van zijn bewegingen (de onderlinge aantrekkingskrachten).
Wiskundig neemt dit de vorm aan van een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen van de tweede orde. In de theorie van stelsels differentiaalvergelijkingen bestaat een standaardtechniek om de orde te verkleinen: voer nieuwe toestandsveranderlijken in die gelijk zijn aan de eerste afgeleiden van de bestaande toestandsveranderlijken. Dan ontstaat door substitutie een nieuw stelsel van tweemaal zoveel differentiaalvergelijkingen met één orde lager.
In de mechanica is de afgeleide van een positie een snelheid. We schrijven dus de bewegingsvergelijking als een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen.
De faseruimte is de meerdimensionale ruimte waarvan elk punt een combinatie van posities en snelheden voorstelt. De beweging van het systeem wordt dan volledig vastgelegd door een eerste orde vectoriële differentiaalvergelijking in de faseruimte.
[bewerk] Voorbeeld
De ééndimensionale harmonische beweging van een gewicht aan een veer wordt gestuurd door een kracht F(x), evenredig van de uitwijking x van de veer ten opzichte van de rustpositie (wet van Hooke).
- F(x) = kx
De versnelling van het gewicht gehoorzaamt aan de tweede wet van Newton.
- ma = F(x)
Deze twee wetten samen leveren een ééndimensionale differentiaalvergelijking van de tweede orde :
We voeren nu een nieuwe veranderlijke p=mdx/dt in (impuls). De beweging van het systeem gehoorzaamt aan het volgende stelsel vergelijkingen van de eerste orde :
Dit is een vectoriële differentiaalvergelijking in de tweedimensionale faseruimte van alle koppels (x,p). De oplossingskrommen zijn ellipsen met de oorsprong als middelpunt.
[bewerk] Algemene context
Bij ingewikkelde mechanische systemen met een groot aantal beperkingen heeft de faseruimte niet altijd de structuur van een 2n-dimesionale Euclidische ruimte. In het algemeen modelleert men de faseruimte door een evendimensionale gladde variëteit met als aanvullende structuur een gesloten differentiaalvorm van de tweede orde die de koppeling tussen positie- en snelheidsveranderlijken weergeeft. Dergelijke variëteiten heten symplectisch. Ze zijn het centrale studieobject van de symplectische meetkunde.
[bewerk] Voorbeeld
De stand van een onregelmatig gevormd stijf lichaam ten opzichte van zijn zwaartepunt wordt beschreven door de drie hoeken van Euler, of preciezer, door een element van SO(3), de speciale orthogonale groep in drie dimensies, dat is de Liegroep der oriëntatiebewarende rotaties van de ruimte. SO(3) is een compacte variëteit, heel anders dus dan de Euclidische ruimte. De faseruimte van een dergelijk mechanisch systeem is de rakende bundel van SO(3). Ze kan worden geïdentificeerd met het Cartesisch product van SO(3) met zijn Lie-algebra so(3), de ruimte der scheefsymmetrische 3x3-matrices.
[bewerk] Hamiltoniaan
De Hamiltoniaanse formulering van de mechanica gaat uit van een energiefunctie of Hamiltoniaan H(x,p,t) die afhangt van alle vrijheidsgraden in de faseruimte, en eventueel ook uitdrukkelijk van de tijdsparameter t. De algemene bewegingsvergelijkingen luiden :
Een vaak voorkomend geval is dat de energie de som is van de bewegingsenergie (kinetische energie) en een statische, dus tijdsonafhankelijke energie van de plaats (potentiële energie) :
Hieruit volgen de klassieke bewegingsvergelijkingen van Newton door de kracht gelijk te stellen aan de negatieve gradiënt van de potentiële energie :
[bewerk] Beweging op een symplectische variëteit
De Hamiltoniaanse bewegingsvergelijkingen kunnen op een abstracte symplectische variëteit geformuleerd worden onafhankelijk van het onderscheid tussen de positie- en de impuls-coördinaten, door gebruik te maken van de symplectische differentiaalvorm w en de uitwendige afgeleide van de Hamilton-energiefunctie.
Hierin geeft x niet allen de ogenblikkelijke positie van het systeem weer, maar een abstracte combinatie van ogenblikkelijke posities en impulsen.
[bewerk] Statistische verdeling
In de praktijk zal men soms in het model een mate van onzekerheid willen opnemen over de posities en snelheden in het systeem. Met name in de statistische mechanica en in de kwantummechanica is dit essentieel. Een statistische verdeling over de elementen van de faseruimte heet een ensemble.
