Briggse logaritme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De Briggse logaritme is de logaritme met grondtal 10, dit in tegenstelling tot de natuurlijke logaritme met als grondtal e. Dit wil zeggen: de (Briggse) logaritme van x is de exponent waartoe men het decimaal getal 10 moet verheffen om x te bekomen:

$y = \log_{10} x \Leftrightarrow 10^y = x$

De Briggse logaritme is genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs. De natuurlijke logaritme of Neperse logaritme is de oudste. John Napier of John Neper stelde in 1614 de eerste logaritmen voor met e (2,71828...) als keuze voor het grondtal. Daarmee kon men ingewikkelde berekeningen in de sterrenkunde reeds vereenvoudigen. Toch waren de berekeningen met het grondtal e nog vaak erg moeilijk, waardoor Briggs voorstelde grondtal 10 toe te passen.

Briggs stelde tafels met logaritmen samen met 14 cijfers na de komma, door met pen en papier 27 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken met 16 cijfers na de komma. Dan berekende hij de 27 volgende wortels met een benaderingsformule.

Vaak wordt het grondtal van de Briggse logaritme niet vermeld, log(x) stelt dan de logaritme met grondtal 10 voor. Omdat ook de natuurlijke logaritme veel gebruikt wordt, kreeg deze een eigen notatie: ln(x) in plaats van log_e(x). Deze notatie is nog steeds gangbaar, vooral onder fysici, ingenieurs en andere toegepaste wetenschappers waar het rekenen met ordes van 10 veel voorkomt. Binnen de wiskunde is de natuurlijke logaritme echter van essentieel belang en is het gebruikelijk geworden om de natuurlijke logaritme aan te duiden met log(x), in plaats van de Briggse. Om verwarring te voorkomen kan men het grondtal expliciet vermelden, zoals log_e(x) en log₁₀(x).

[bewerk] Voorbeelden

De Briggse logaritme van 1000 is 3, want 10³ = 1000.
De Briggse logaritme van 10 is 1, want 10¹ = 10.
log(1) = 0 want 10⁰ = 1.
log(3) = 0,47712125...
log(30) = 1,47712125...
log(1/10) = -1 want 10^-1 = 1/10.

De Briggse logaritme van een negatief getal of van 0 bestaat niet.

[bewerk] Gebruik

Enkel de gehele machten van 10 bezitten een geheel getal als Briggse logaritme. Alle andere positieve getallen zijn kommagetallen. Het aantal gehelen van een logaritme noemt men de wijzer. De wijzer is positief voor getallen groter dan of gelijk aan 1 en negatief voor getallen gelegen tussen 0 en 1. Het voordeel van het gebruik van Briggse logaritmen is dat het getal vóór de komma gelijk is aan het aantal cijfers van het grondtal min 1. Anders gezegd: het aantal cijfers vóór de komma $n$ van een getal (groter dan 1) is gelijk aan $\lfloor\log\hbox{ }n\rfloor+1$

Het verschil tussen de wijzer van de logaritme van een getal en de logaritme zelf, wordt mantisse genoemd. Een mantisse ligt dus steeds tussen 0 en 1. De logaritme van getallen, waar enkel de komma op een andere plaats staat, hebben dezelfde mantisse maar enkel een andere wijzer. Zoals geïllustreerd in bovenstaande voorbeelden: $log 3$ en $log 30$ .

Andere voorbeelden:

$log123 = 2,08990...$
$log12,3 = 1,08990...$
$\log 0,0123 = -1,91009... = -2 + 0,08990 = \bar{2},08990$

Het minteken bovenop de wijzer slaat op het feit dat het enkel telt voor de wijzer. De mantisse is steeds positief! Hier is te zien dat de logaritmen van de getallen 123 of 12,3 en 0,0123 dezelfde mantisse hebben! Dit maakt Briggse logaritmen zeer eenvoudig om mee te werken. Men hoeft enkel over een tafel van de mantisses te beschikken. Dat zijn de logaritmetafels.

Om de Briggse logaritme van een getal op te zoeken, bepaalt men dus de wijzer uit het hoofd en zoekt men de mantisse op in de logaritmetafels.

Regel voor de wijzer:

Is een getal groter dan 1, dan is de wijzer gelijk aan het aantal cijfers vóór de komma - 1
Is het getal gelegen tussen 0 en 1, dan is de wijzer gelijk aan het aantal nullen vóór het eerste beduidend cijfer.

Een logaritmetafel behoeft dus slechts de mantisses van bijvoorbeeld 1001 t/m 9999 te bevatten, om de logaritmes van alle positieve getallen bij benadering te bepalen.

Alle rekenmachines beschikken over een functie die de natuurlijke en de Briggse logaritme berekent. Het rekenen met logaritmen is de laatste jaren met het opkomen van de elektronische rekenmachines naar de achtergrond verdrongen. Op school worden ze zelfs niet meer ingeoefend. De logaritmetafels zijn enkel nog te bezichtigen in een museum.

In de informatica werken de programmeertalen uitsluitend met de natuurlijke logaritme. Men schrijft daat Log (a) voor de natuurlijke logaritme. Wenst men toch de Briggse logaritme van een getal willen kennen, dan moet men gebruik maken van volgende formule:

$\log x={\ln x\over\ln 10}$

Dit volgt uit de eigenschappen van logaritmen.

De natuurlijke logaritmen zijn echter zeer belangrijk in de wiskunde en kunnen niet weggelaten worden.

De Briggse logaritme wordt wel nog veel gebruikt om grootheden van sterk uiteenlopende waarden te vergelijken. Zo bij voorbeeld de schaal van Richter voor aardbevingen, de Bode-diagrammen in de regeltechniek en de communicatietechniek, de helderheid (magnitude) van sterren, de zuurgraad of pH in de scheikunde en de decibel (dB) schaal in akoestica en communicatietecniek.