Breuksplitsing

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Breuksplitsing is een methode voor het systematisch integreren van rationale functies. Rationale functies kunnen (theoretisch) altijd worden geprimitiveerd door de vorm van de rationale functie geschikt te wijzigen en dan standaardformules voor de ontstane onderdelen toe te passen. De bedoelde vorm is een som van een polynoom en een eindig aantal breuken met ofwel een constante als teller en als noemer een macht van een eerstegraadspolynoom, ofwel een eerstegraadspolynoom als teller en een macht van een tweedegraadspolynoom als noemer, waarin alleen reële coëfficiënten voorkomen. Van elk van de termen in deze som kan eenvoudig de primitieve bepaald worden.

De volgende stappen in het meest algemene geval zijn daarvoor uit te voeren:

Door staartdeling (van polynomen) de breuk opdelen in een polynoom en een rationale functie, waarvan de graad van de teller lager is dan de graad van de noemer.
De noemer van de polynoom moet worden gefactoriseerd in een product van eerstegraadspolynomen en irreducibele tweedegraadspolynomen.
Nu kan de breuk in een som van breuken worden gesplitst.
Elk onderdeel is nu gegarandeerd te primitiveren.

[bewerk] Voorbeeld

Breuksplitsing van de rationale functie $1 \over x^2-1$ .

is overbodig, de graad van de teller is al kleiner dan de graad van de noemer.
de nulpunten van de noemer zijn i.h.a. nodig, hier +1 en -1, dus $x 2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ .
ons voorbeeld kan zeker gesplitst worden in : ${A \over (x-1)} + {B \over x+1}$ , waarbij de getallen A en B nog moeten worden berekend.
beide onderdelen hebben een (natuurlijke) logaritme functie als primitieve, en de primitieve is (in principe) gevonden.

[bewerk] A en B bepalen

Er zijn verschillende werkwijzen om dergelijke nog onbekende getallen A en B te bepalen. Een eenvoudige werkwijze voor dergelijke eenvoudige voorbeelden verloopt als volgt:

${{A \over (x-1)} + {B \over x+1}} ={1 \over x^2-1 }$ .
de linker kant op één noemer brengen levert : ${{A (x+1) +B (x-1)\over x^2-1}} ={1 \over x^2-1 }$ .
deze twee breuken zijn slechts gelijk indien de beide tellers voor elke $x$ aan elkaar gelijk zijn : $A (x + 1) + B (x - 1) = 1$ .
voor $x = 1$ krijgt B een factor 0 en verdwijnt, dat levert $A = {1 \over 2}$ en voor $x = - 1$ volgt $B = -{1 \over 2}$