Diżugwaljanza ta’ Čebyšëv

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija ħielsa.

Id-diżugwaljanza ta’ Čebyšëv ^[1] jew teorema ta’ Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.

Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn Irenée-Jules Bienaymé u riskoperta indipendentement minn Pafnutij Čebyšëv xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta’ Bienaymé-Čebyšëv ).

Id-diżugwaljanza ta’ Čebyšëv tgħid li jekk il-varjabbli każwali (v.k.) $X$ għanda medja (aritmetika) $μ$ u varjanza $σ 2$ u $λ$ hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li $X$ tieħu valur bejn $μ - λσ$ u $μ + λσ$ hi ikbar minn $1 - 1 / λ 2$ :

$\operatorname{P}(\mu - \lambda \sigma \le X \le \mu + \lambda \sigma) \ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}.$

F’termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista’ tkun il-probabbiltà li din tieħu valuri l-bogħod mill-medja iżjed minn $λ$ drabi id-devjazzjoni standard, hi $\tfrac{1}{\lambda^2}$ :

$\operatorname{P}\left(|X-\mu| \ge \lambda\sigma\right)\le \frac{1}{\lambda^2}.$

Per eżempju jekk nieħdu $\lambda = \sqrt{2}$ naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall $( \mu-\sqrt{2}\sigma , \mu+\sqrt{2}\sigma)$ . Ninnotaw li biss għall-każ $λ > 1$ ikollna informazzjoni utli.

Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa’. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b’distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Per eżempju, għal kull $λ > 1$ , dan l-eżempju (fejn $σ = 1 / λ$ ) jilħaq il-limiti eżattament.

$\begin{align} \operatorname{P}(X=-1) &= 1/(2\lambda ^2), \\ \operatorname{P}(X=0) &= 1 - 1/\lambda ^2, \\ \operatorname{P}(X=1) &= 1/(2\lambda^2). \end{align}$

Għal din id-distribużżjoni,

$\operatorname{P}\left(\left|X-\mu\right| \ge \lambda \sigma\right) = 1/\lambda ^2.\,$

Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta’ din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.

Fl-ambitu ta’ l-istatistika deskrittiva id-diżugwaljanza tgħid li mill-inqas $100(1 - 1 / λ 2)$ fil-mija tal-valuri huma bejn $μ - λσ$ u $μ + λσ$ . Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti

mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn $μ - 2σ$ u $μ + 2σ,$
mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn $μ - 3σ$ u $μ + 3σ,$
mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn $μ - 4σ$ u $μ + 4σ.$

Prova

Għal kull ġrajja A, ħalli I_A tkun il-v.k. indikatura ta’ A, jiġifieri I_A tiswa 1 jekk A tiġri u 0 jekk ma’ tiġriex. Imbagħad

$\begin{align}\operatorname{P}(|X-\mu| \geq k\sigma) &= \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma}) = \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})\\ &\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right) = {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}.\end{align}$

Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b’ $[(X - μ) / (k σ)] 2$ meta dan hu ikbar minn 1. Imma f’xi każi hu ħafna ikbar minn 1.

[editja] Noti

↑ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).

Portal tal-Matematika

Category: Matematika

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Diżugwaljanza ta’ Čebyšëv

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija ħielsa.

[editja] Noti

Views

Navigazzjoni

komunità

Fittex

Lingwi oħrajn