Paviršinis integralas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Paviršinis integralas - integralas, skirtas apskaičiuoti kūno paviršiaus plotą. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

[taisyti] Pirmojo tipo paviršinis integralas

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei $f [x, y, z (x, y)] = 1.$ Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę: $\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+({\partial z(x,y)\over\partial x})^2+({\partial z(x,y)\over\partial y})^2}dxdy.$

Paraboloidas.

Apskaičiuosime integralą $\iint_S\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS,$ kur S dalis paraboloido $z = 1 - x 2 - y 2,$ atpjauto plokštuma $z = 0.$

Paviršius S, aprašomas lygtimi

z = 1 - x 2 - y 2,

projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu

x 2 + y 2 = 1

(apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai

z = 0

). Todėl sritis D yra skritulys $x^2+y^2\le 1.$ Šiame skritulyje funkcijos

z = 1 - x 2 - y 2,

z x'(x, y) = - 2 x,

z y'(x, y) = - 2 y

netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule $\sqrt{1+z_x'^2(x; y)+z_y'^2(x; y)},$ gauname

$\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS=\iint_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=$ $=\iint_D(1+4x^2+4y^2)dxdy.$

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates

x = ρcosφ,

y = ρsinφ,

randame

$\iint_D(1+4x^2+4y^2)dxdy=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^1(1+4\rho^2)\rho d\rho=\int_0^{2\pi}({\rho^2\over 2}+\rho^4)|_0^1={3\over 2}\int_0^{2\pi}d\phi={3\over 2}\phi|_0^{2\pi}=3\pi.$

[taisyti] Antrojo tipo paviršinis integralas

$\iint_S P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=$ $=\iint_S P(x,y,z)dydz+\iint_SQ(x,y,z)dzdx+\iint_SR(x,y,z)dxdy.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

$\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

$\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(f(y,z),y, z)dydz.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

$\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,f(x,z),z))dzdx.$

[taisyti] Pavyzdžiai

Išgaubtas paviršius.

Apskaičiuosime integralą $\iint_S(y^2+z^2)dxdy,$ kur S - viršutinė dalis paviršiaus $z=\sqrt{1-x^2},$ atkirsta plokštumomis $y = 0,$ $y = 1.$

Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis $-1\le x\le 1,\; 0\le y\le 1.$ Pagal formulę $\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy$ randame

$\iint_S(y^2+z^2)dxdy=\iint_D[y^2+(\sqrt{1-x^2})^2]dxdy=\int_{-1}^1 dx\int_0^1(y^2+1-x^2)dy=$ $=\int_{-1}^1({y^3\over 3}+y-x^2y)|_0^1 dx=\int_{-1}^1({4\over 3}-x^2)dx=({4\over 3}x-{x^3\over 3})_{-1}^1={4\over 3}-{1\over 3}-(-{4\over 3}+{1\over 3})=1+1=2.$

Apskaičiuosime integralą $\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy,$ kur S viršutinė dalis plokštumos $x + z - 1 = 0,$ atkirsta plokštumomis $y = 0,$ $y = 4$ ir gulinti pirmajame oktante.

Pagal apibrėžimą,

$\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=$ $=\iint_{D_1}x(y,z)dydz+\iint_S ydzdx+\iint_{D_2}z(x,y)dxdy.$ Čia $D 1$ ir $D 2$ - projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o $\iint_S ydzdx=0,$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje $y = 0$ ). Pagal formules $\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy$ ir $\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(f(y,z),y, z)dydz$ atitinkamai randame $\iint_S zdxdy=\iint_{D_2}(1-x)dxdy=\int_0^4 dy\int_0^1(1-x)dx=\int_0^4(x-{x^2\over 2})|_0^1 dy={1\over 2}\int_0^4 dy=2,$ $\iint_S xdydz=\iint_{D_1}(1-z)dydz=\int_0^4 dy\int_0^1(1-z)dz={1\over 2}\int_0^4 dy=2.$

Todėl $\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.$

Pakilusi iki pusės nupjauta sfera.

Apskaičiuosime integralą $\iint_S(z-R)^2 dxdy$ pagal viršutinę pusę pusiasferės $x 2 + y 2 + z 2 = 2 R z,$ $R\le z\le 2R.$

Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi

x 2 + y 2 + z 2 = 2 R z,

x 2 + y 2 + (z - R) 2 = R 2,

(z - R) 2 = R 2 - x 2 - y 2,

$z-R=\sqrt{R^2-x^2-y^2},$

$z=R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}.$

Todėl pagal formulę $\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy$ turime: $\iint_S(z-R)^2 dxdy=\iint_D(R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}-R)^2 dxdy=\iint_D(R^2-x^2-y^2) dxdy,$

kur D - skritulys $x^2+y^2\le R$ plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime: $\iint_S(z-R)^2 dxdy=\iint_D(R^2-x^2-y^2) dxdy=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^R(R^2-\rho^2)\rho d\rho=\int_0^{2\pi}({R^2\rho^2\over 2}-{\rho^4\over 4})|_0^R d\phi=$ $={R^4\over 4}\phi|_0^{2\pi}={\pi R^4\over 2}.$

Plokštuma S.

Apskaičiuosime integralą $\iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy$ pagal viršutine pusę dalies plokštumos $x + 2 z = 2,$ gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma $y = 4.$

Pagal nustatymą $\iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy=\iint_S x dydz+\iint_S ydzdx+\iint_S zdxdy.$ $\iint_S x dydz=\iint_{D_1}(2-2z)dydz=2\int_0^4 dy\int_0^1(1-z)dz=4.$