Magnitudo absoluta

E Vicipaedia

Magnitudo absoluta cuiusdam numeri $x$ , $| x |$ , ipsa numerus est. Terminus magnitudinis absolutae initio tantum numeris realibus, sed postea etiam numeris complexis definitus est.

Index

1 Magnitudo absoluta numerorum realium
- 1.1 Definitio
- 1.2 Functio magnitudinis absolutae
2 Magnitudo absoluta numerorum complexorum

[recensere] Magnitudo absoluta numerorum realium

[recensere] Definitio

Si x numerum realem designat, eius magnitudo absoluta ita definitur:

Si $x \in \mathbb{R}_{0}^+$ , $| x | = x$ .

Si $x \in \mathbb{R}^-$ , $| x | = - x$ .

Magnitudo absoluta igitur numquam negativa est.

[recensere] Functio magnitudinis absolutae

Haec functio est $f (x) = | x |$ . Omnibus numeris realibus magnitudinem absolutam eorum attribuit. Ei sunt has proprietates:

1.) Per definitionem (magnitudinis absolutae) valet: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{0}^+$

2.) Stricte monotone descendit in $\mathbb{R}^-$ ascenditque stricte monotone in $\mathbb{R}^+$ .

3.) Non omnibus locis derivari potest: Si $x < 0$ , $( | x | )' = - 1$ ; si $x > 0$ , $( | x | )' = + 1$ . Loco $x 0 = 0$ derivatio huius functionis non est.

4.) Integralis eius continet omnes functiones F, quibus valet $F(x) = -\frac{1}{2} \cdot x^2 + c; c \in \mathbb{R}$ , si $x < 0$ , atque $F(x) = +\frac{1}{2} \cdot x^2 + c$ , si $x \ge 0$ (nota bene: necesse est c aequalis valoris duabus "partibus" functionis esse; nisi est, F loco 0 derivari non potest, quia tum ibi saltum, locum discontinuitatis, habet).

5.) Unum zerum habet, id est $P (0 | 0)$ . Hoc punctum etiam solum extremum (minimum) eius est.

6.) Ei nulla puncta inflexionis sunt.

[recensere] Magnitudo absoluta numerorum complexorum

His numeris creatis etiam eorum magnitudo absoluta definita est. Hanc ad definitionem intellegendam, primum necesse est scire omnes tales numeros vectoribus describi posse: iis vectoribus, qui habent abscissam partem realem numeri complexi atque ordinatam partem imaginariam eius. Magnitudo absoluta eo modo definitur, ut sit longitudo vectoris numerum repraesentantis. Ergo:

$|a + b \cdot i| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Haec definitio etiam eam numerorum realium includit, nam si $b = 0$ formula dat $|a| = \sqrt{a^2}$ hocque magnitudinem absolutam numeri realis aequat.