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큰 바른틀 앙상블 - 위키백과

큰 바른틀 앙상블

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통계역학에서, 큰 바른틀 앙상블(grand canonical ensemble)이란 바른틀 앙상블에서 입자수가 고정되어 있지 않은 열린계로 이루어진 통계적 앙상블을 말한다. 따라서 계는 무한히 큰 열원과 열(에너지)뿐만 아니라 입자도 교환한다. 대신 입자수의 변동과 관련된 화학퍼텐셜이 고정되어 있다. 따라서 계의 입자수를 확정하기 힘들 때 큰 바른틀 앙상블을 사용하는 것이 용이하다.

계가 에너지 $E_i\,$ , 입자수 $N_r\,$ 인 미시상태 $(i,r)\,$ 에 있을 확률은 다음과 같다.

$p_{i,r} = \tfrac{1}{Z_G}e^{-\beta(E_i-\mu N_r)}$

여기서 $Z_G\,$ 는 확률의 총합이 1이 되도록 나누어준 상수값으로 계의 온도 $T\,$ , 부피 $V\,$ , 화학퍼텐셜 $\mu\,$ 에 의해 결정된다. 이 값을 큰 분배함수라고 부른다.

$Z_G = \sum_{i,r} e^{- \beta(E_i-\mu N_r)}= \sum_{i,r} e^{- (E_i-\mu N_r)/{k_B T}}$

목차

1 큰 분배함수
2 큰 퍼텐셜
3 밀도 행렬의 대각선 성분
4 밀도 연산자
5 큰 퍼텐셜의 유도
6 함께보기
7 참고자료

[편집] 큰 분배함수

큰 분배함수는 바른틀 앙상블의 분배함수에 통계적 가중인자 $z\,$ 를 곱하여 $N\,$ 을 바꿔가며 더한 결과와 같다.

$Z_{G}(T, V, \mu) = \sum_{N=0}^{\infty} z^N \, Z(T, V, N) \, =\sum_{N=0}^{\infty} \sum_i z^N \, \exp(-E_i/ k_B T) \,$

여기서 통계적 가중인자 $z\,$ 는 퓨카시티라고 부르며 다음과 같이 정의된다.

$z \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \exp(\beta\mu)\,$

따라서 화학퍼텐셜을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\mu = k_B T \ln z\,$

[편집] 큰 퍼텐셜

큰 퍼텐셜은 다음과 같이 정의된다.

$\Phi_{G}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ E - T S - \mu N$

바른틀 앙상블에서 열역학 함수인 자유에너지를 분배함수로 표현한 것과 같이, 큰 바른틀 앙상블에서는 열역학 함수인 큰 퍼텐셜(grand potential)을 큰 분배함수로 표현할 수 있다.

$\Phi_{G}(T,V,\mu)= -k_B T \ln Z_{G}\,$

[편집] 밀도 행렬의 대각선 성분

큰 바른틀 앙상블에서 에너지의 고유값이 $E n$ 이고, 입자수의 고유값이 $N r$ 인 양자상태에 있을 확률은 볼츠만 인자로 주어진다. 계의 입자 수 변동을 고려하면 밀도 행렬의 대각선 성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\rho_n = {{e^{-\beta (E_n - \mu N_r)}} \over {\sum_{n,r} e^{-\beta (E_n - \mu N_r)}}}$

[편집] 밀도 연산자

한편, 밀도 연산자 표현식은 다음과 같다.

$\rho = {{e^{-\beta (H - \mu N)}} \over {Tr(e^{-\beta (H - \mu N)})}}$

[편집] 큰 퍼텐셜의 유도

엔트로피와 큰 퍼텐셜의 정의로부터 큰 분배함수로 표현된 큰 퍼텐셜을 유도할 수 있다.

$S = <-k_B \ln \rho> = -k_B <\ln \rho>\,$

$<G> = Tr[\rho G]\,$ 이므로,

$S = -k_B Tr[\rho \ln \rho]\,$

$= -k_B Tr[\rho (-\beta (H - \mu N) - \ln Z_G))]\,$

$= k_B \beta Tr[\rho H] - k_B \beta \mu Tr[\rho N] + k_B Tr[\rho \ln Z_G]\,$

$= k_B \beta <H> - k_B \beta \mu <N> + k_B <\ln Z_G>\,$

$TS = k_B T \beta <H> - k_B T \beta \mu <N> + k_B T <\ln Z_G>\,$

$= U - \mu N + k_B T \ln Z_G\,$

큰 퍼텐셜의 정의에 의해,

$\Phi = U - TS - \mu N = -k_B T \ln Z_G\,$

[편집] 함께보기

[편집] 참고자료

김인묵, 김엽. '통계열물리', 범한서적주식회사, 2000.

분류: 통계역학

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