접속 (수학)
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기하학에서 접속(connection)은 벡터 등을 곡선을 따라 '평행하게' 옮겨가는 작업을 체계화한 것이다.
접속을 이용하면 한 점에서의 국소적 기하를 다른 점에서의 국소적 기하와 직접 비교할 수 있으며, 이로서 접속의 개념은 현대의 기하학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다. 미분기하학에는 접속의 개념이 여러 형태로 등장하는데, 이는 크게 국소적 이론과 무한소 이론으로 나눌 수 있다. 국소적 이론은 주로 평행 수송과 홀로노미 등을 다루며, 무한소 이론은 기하학적 정보의 미분을 다룬다. 예로서 공변 미분은 다양체 상의 벡터장을 다른 벡터장에 대해 미분하는 한 방법이며, 카르탕 접속은 미분형식과 리 군을 이용해 접속의 이론을 형식화한다.
[편집] 역사
역사적으로 접속은 리만 기하학에서 무한소적 관점으로 다루어졌다. 이는 일정 부분 크리스토펠의 연구로 시작되었으며, 나중에 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타가 크리스토펠이 사용한 의미의 접속을 이용하면 평행 수송을 개념을 만들 수 있음을 발견하면서 보다 큰 관심을 받게 되었다.[1]
레비치비타는 접속을 일종의 미분작용소로, 평행 변위를 미분방정식의 해로 보았다. 20세기에 엘리 카르탕은 파프계의 기술을 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 적용하려고 하면서 접속의 새로운 개념을 개발해냈다. 그는 자신의 카르탕 접속이 고전적인 클라인 기하학에는 존재하지 않는 곡률의 개념을 제공한다는 것을 알아차렸다.[2][3] 뿐만 아니라 카르탕은 다르부의 동역학을 이용해 평행이동을 카르탕 접속에 대해 일반화시키고, 이를 통해 접속을 미분형식의 한 종류로 보는 새로운 흐름이 나타났다.
[편집] 참고자료
- ↑ Levi-Civita, T. and Ricci, G. "Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications", Math. Ann. B, 54 (1900) 125-201.
- ↑ Cartan, E. "Sur les varietes a connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique, 52 (1924) 205-241.
- ↑ Cartan, E., Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, 1983.
