뫼비우스 함수

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뫼비우스 함수(Möbius function) 은 수론과 조합론에서 중요한 곱셈적 함수이다. 이름은 이 함수를 1831년에 처음 소개한 독일의 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스로부터 유래되었다.

[편집] 정의

μ(n)은 모든 양의 자연수 n에 대해 정의되며 n의 소인수분해에 따라 다음과 같이 {-1, 0, 1} 중에 하나의 값을 가진다.

• μ(1) = 1이다.
• n이 완전 제곱수를 약수로 가지지 않으면서 k개의 소인수를 가지면, μ(n) = (-1)^k이다.
• n이 완전 제곱수를 약수로 가지면, μ(n) = 0이다.

처음 몇 개의 자연수 n에 대해서 μ(n)의 값은 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, ...이다.

μ(0)의 값은 일반적으로 정의되어 있지 않지만, 메이플은 이 값을 -1로 정의하고 있다.

함수의 처음 50개의 값을 표시하면 다음과 같다.

[편집] 특성과 적용

뫼비우스 함수는 곱셈적 함수이다. 즉, a와 b가 서로 소이면 μ(ab) = μ(a)μ(b)이다. n의 양의 약수의 뫼비우스 함수 값의 합은 n이 1일 때 1, n이 1보다 클 때 0이다:

수론에서 뫼비우스 함수와 밀접하게 연관된 수론적 함수는 메르텐스 함수이다. 이 함수는 모든 자연수 n에 대해서 다음과 같이 정의된다:

이 함수는 리만 제타 함수의 0의 개수와 밀접하게 연관되어 있다. M(n)과 리만 가설 사이의 연관성에 대해서는 메르텐스 추측 페이지를 참고하여라.

소인수를 3개 가지면서 완전 제곱수로 나눠 떨어지지 않는 스페닉 수 n의 경우, 항상 μ(n) = -1이다.

[편집] μ(n)의 값들

오직 n이 완전 제곱수로 나누어 떨어질 때만 μ(n) = 0이다. 이런 성질을 가진 처음 몇 개의 숫자들은 다음과 같다: (온라인 정수열 사전의 A013929를 참고하여라)

 4,  8,  9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44,
45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

n이 소수라면 μ(n) = -1이지만, 역은 참이 아니다. 소수가 아니면서 μ(n) = -1인 가장 작은 n은 30(= 2 · 3 · 5)이며, 이런 식으로 3개의 소인수를 가지면서 완전 제곱수로 나눠 떨어지지 않는 처음 몇 개의 숫자들(스페닉 수)은 다음과 같다: (A007304)

 30,  42,  66,  70,  78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 
165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,...

그리고 5개의 소인수를 가지면서 완전 제곱수로 나눠 떨어지지 않는 처음 몇 개의 숫자들은 다음과 같다: (A046387)

 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 
 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ...