동적 계획법

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동적계획(動的計劃, dynamic programming)은 어떤 알고리즘이 부분 문제 반복과 최적 기본 구조라는 특징을 가지고 있을 때, 이 알고리즘의 실행시간을 줄이는 방법이다. 수학자인 리처드 벨만이 1953년에 '동적계획'이라는 용어를 만들었다.

목차 1 예제 1.1 피보나치 수열 2 동적계획을 이용한 알고리즘 3 바깥고리 4 참고문헌

[편집] 예제

[편집] 피보나치 수열

보통 피보나치 수열을 구하는 함수는 다음과 같이 작성한다.

function fib(n)
 if n = 0 or n = 1
  return 1
 else
  return fib(n-1) + fib(n-2)

이때, fib(5)를 구한다고 한다면 계산은 다음과 같이 이루어진다.

1. fib(5)
2. fib(4) + fib(3)
3. (fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
4. ((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))
5. (((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

여기에서 세 번째 줄의 fib(2)가 중복되어 계산되고, 이것은 전체적인 계산 속도를 떨어뜨린다. 이 알고리즘의 시간 복잡도는 지수 함수가 된다.

여기에서 각 함수의 계산값을 저장하는 객체 m을 추가하면, 이 알고리즘은 다음과 같이 바뀐다.

var m := map(0 → 1, 1 → 1)

function fib(n)
 if n not in keys(m)
  m[n] := fib(n-1) + fib(n-2)
 return m[n]

이렇게 각 계산값을 저장하면, 중복 계산이 줄어들고 시간 복잡도는 O(n)이 된다.

[편집] 동적계획을 이용한 알고리즘

• 최장 공통 부분 수열 - 주어진 두 개 이상의 수열의 부분수열이 되는 가장 긴 수열을 찾는 알고리즘
• Cocke-Younger-Kasami (CYK) 알고리즘 - 주어진 문맥무관문법으로 원하는 문자열을 만들 수 있는지 판정하는 알고리즘
• 비터비 알고리즘
• Earley algorithm
• 벨만-포드 알고리즘
• 데이크스트라 알고리즘 - 주어진 시작점과 종료점 사이의 가장 짧은 경로를 찾아내는 알고리즘
• 플로이드-와샬 알고리즘
• chain matrix multiplication의 최적 곱셈 순서
• 부분집합 합 알고리즘
• 배낭 문제

[편집] 바깥고리

• David B. Wagner. Dynamic Programming. 동적계획에 대한 소개글 (1995년)
• Ohio State University: CIS 680: class notes on dynamic programming
• A Tutorial on Dynamic programming
• More DP Notes
• Algorithmist's Dynamic Programming 동적계획의 많은 예제가 있음.

[편집] 참고문헌

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0262032937. Chapter 15: Dynamic Programming, pp.323–369.