기둥

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구조역학 또는 건축공학에서 기둥(柱, column)은 상부에서 재하되는 하중을 축방향 압축을 통해 하부로 전달하는 수직 구조 요소를 뜻한다. 벽이나 지붕의 상부 구조가 놓여 있는 들보나 아치를 지지하는 데에 자주 쓰인다.

[편집] 기둥의 구조

[편집] 세장비(slenderness ratio)

기둥의 길이 $l$ 과 최소 단면 2차 반경 $k$ 와의 비 $\frac{l}{k}$ 을 세장비(slenderness ratio)라 한다.단주(short column)는 세장비가 $0 < \frac{l}{k} < 50$ 인 기둥을 말하고 장주(long column)은 세장비가 100 이상인 기둥을 말한다.

[편집] 단주

탄성거동을 하는 단주(短柱, short column)의 경우, 축방향 응력이 항복강도 또는 극한강도에 이르면 압축 파괴가 일어난다.

[편집] 장주

탄성 재료로 된 완벽하게 곧은 장주(長柱, slender column)에 축방향으로 하중이 재하된다고 하자. 이 하중의 크기가 커지면, 이러한 이상(理想)기둥은 세 가지의 상태 즉, 안정평형(stable equilibrium), 중립평형(neutral equilibrium), 그리고 불안정(instability) 상태에 있게 된다.

안정평형 상태의 기둥에 미소한 횡방향력이 작용하면 기둥은 약간 휘었다가, 횡방향력이 제거되면 다시 원래의 곧은 형태로 돌아간다.
횡방향력의 크기가 점차 증가하면, 그 횡방향력을 제거하더라도 휘어진 기둥이 원래의 곧은 형태로 돌아가지 않게 되는데, 이러한 상태를 중립평형 상태라고 한다. 또한, 이 때의 축방향 하중을 임계하중(critical load) 또는 좌굴하중(buckling load)이라고 한다.
불안정 상태에서는, 약간의 하중 증가에도 횡방향 처짐을 제어할 수 없게 되어 결국 기둥이 파괴(좌굴)된다.

[편집] 임계 하중

임의의 지점 조건을 갖으며 축방향 하중을 받는 곧은 기둥에 대해서, 미분방정식의 꼴로 표현되는 정역학적 평형방정식을 이용하면 기둥의 처짐 형상과 임계하중을 구할 수 있다.

[편집] 단순지지된 기둥

단순지지된 기둥

오른쪽 그림과 같이 단순지지된 기둥에 도심축하중 P가 작용해 횡방향 처짐이 생겼다고 하자. 계산을 위해 그림과 같이 시계반대방향으로 90° 회전한 오른손 좌표계를 사용한다. 또, 처짐은 양의 y 방향으로 생겼다고 가정한다. 부재의 길이는 L이라고 한다.

임의의 x 지점에서의 모멘트는

M = - P v

이다. 여기서 v는 x 지점에서의 횡방향 처짐이다. 들보방정식에 따라

E I v'' = M = - P v

여기서 $k 2 = P / E I$ 라고 하면,

v'' + k 2 v = 0

이 미분 방정식의 해는

v = A sin k x + B cos k x

꼴이다.

미지 계수를 결정하기 위해 지점조건 $v (0) = 0$ , $v (L) = 0$ 을 도입하면,

v (0) = 0;

B = 0

v (L) = 0;

A sin k L = 0

$sin k L = 0$ 일 때 위의 방정식이 만족되므로

$kL = n \pi \ (n=1,2,3,...)$

이다. 따라서

$P = \frac{n^2 \pi^2 EI}{L^2} \ (n=1,2,3,...)$

이때 $n = 1$ 일 때의 가장 작은 임계 하중은

$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$

로 주어진다. 한편, 이 때의 처짐식은

$v = A \sin (\frac{n \pi}{L} x)$

가 된다.

[편집] 임계하중의 일반식

힌지단, 고정단, 또는 자유단 등의 지점 조건을 갖고 길이 방향으로 단면이 일정한 곧은 기둥이 중립평형 상태에 있을 때, 임계하중은 다음과 같이 주어진다.

$P_{cr} = \frac{\pi^2\textit{EI}}{(L_e)^2} =\frac{\pi^2\textit{EI}}{(KL)^2} \qquad \mathrm{(1)}$

여기서 E는 재료의 탄성 계수, I는 단면 이차 모멘트, L은 기둥의 길이, L_e는 유효길이(단순지지 기둥으로 환산한 길이)로, 처짐 형상에 나타나는 가장 긴 사인 곡선 반 주기 만큼의 길이이다. 유효길이계수 K를 써서 표현할 수도 있다. 이 식에서 알 수 있는 바와 같이, 기둥의 좌굴하중은 재료의 강도( $σ u l t$ )와는 관련이 없으며 단지 재료의 단면 형상( $I$ )과 탄성 계수( $E$ ), 그리고 길이에 따라 좌우된다.

한편, 임계응력은

$\sigma_{cr}\equiv\frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^{2}E}{(\frac{KL}{r})^{2}} \qquad \mathrm{(2)}$

여러가지 기둥의 K값

임계응력 σ_cr이 재료의 비례한도를 넘을 경우, 기둥은 비탄성 좌굴을 하게 된다. 이런 상태에서 재료의 응력-변형도 곡선상의 기울기로 주어지는 E_t(접선계수)는 비례한도 아래의 응력일 때 보다 작으며, 따라서 비탄성 좌굴의 임계하중 역시 감소하게 된다.

비대칭 단면을 갖는 기둥에서는 횡방향 좌굴과 함께 또는 그 이전에 뒤틀림 좌굴이 발생할 수 있다. 이런 경우, 이론적인 해석은 물론 실제의 설계 또한 복잡하다.

편심 축하중을 받고 있거나, 기둥이 원래부터 휘어 있는 경우는 기둥의 강도가 저하시킨다. 편심 축하중이란, 하중의 작용선이 기둥 단면의 도심과 일치하지 않는 경우이다. 이런 상태의 기둥에서는 횡방향으로 초기 처침이 발생한다. 축방향응력과 더불어 휨응력이 발생하기 때문에, 기둥의 하중 재하 능력이 감소되는 것이다.

[편집] 함께 읽기

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분류: 구조역학 | 건축공학

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