Variáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A kombinatorikában használt fogalom, egy (véges) halmaz elemeinek egy variációját úgy kapjuk, hogy néhány nem feltétlenül különböző elemet kiválasztunk, és sorrendberakjuk őket: egy ilyen elemsorrend képez egy variációt. Ha k db. elemet választunk ki, akkor k-ad osztályú variációkról beszélünk, a halmaz elemszáma pedig a variáció rendje.

Példa: legyenek az elemek {1,2,3,4}, ekkor negyedrendű variációkat képezhetünk. Ha mondjuk harmadosztályú variációkról van szó, akkor ilyenek: (1,2,3); vagy (3,4,4), vagy pl. (1,1,1). Fontos, hogy a variációkban az elemsorrend számít (ha nem, azaz k-elemű részhalmazokat veszünk, azt kombinációnak nevezzük). Ha két elem többször is előfordulhat, akkor ismétléses variációkról beszélünk, ha nem, akkor ismétlés nélküli variációkról. Ha mást nem mondunk, "variáció"-n ismétlés nélküli variációt értünk.

Matematikailag az A halmaz n-edrendű k-adosztályú variációi felfoghatóak v:{1,2,...,k-1,k}→A leképezéseknek (az ismétlés nélküli variációk pedig – ekkor szükségképp k≤n – ilyen alakú, de injektív leképezéseknek).

[szerkesztés] Számuk

Az $n$ db. elem $k$ -ad osztályú variációinak száma (jelölje $V_n^k$ ): $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\ldots (n-k+1)$ .
Az $n$ db. elem $k$ -ad osztályú ismétléses variációinak száma (jelölje $V_n^{k,i}$ ): $V_n^{k,i} = n^k$ .