Izogonális pont

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az izogonális pont, Fermat-pont vagy Torricelli-pont a geometriában az a pont, amit egy háromszög csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza minimális. Fermat fedezte fel, aki feladványul adta Evangelista Torricellinek a pont megszerkesztését.

[szerkesztés] Az izogonális pont megyszerkesztése

Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.)

[szerkesztés] Szerkesztés bizonyítása

A bizonyítás megmutatja, hogy a három egyenes egy ponton halad át.

Legyen F az RC és BQ egyenesek metszéspontja. Azt akarjuk megmutatni, hogy az AFP görbe egyenes.

Mivel AR=AB és AC=AQ,

.

Továbbá, mivel és º, amik belső szögei a szabályos háromszögeknek, . Ebből következik, hogy RAC és BAQ háromszögek egybevágóak. Vagyis és . Tehát ARBF és AQCF húrnégyszög. Mivel húrnégyszögek, º. BFCP szintén húrnégyszög, hiszen º. Ennélfogva º. Tehát º.