Formális hatványsor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához. A definíció a következő:

Legyen $R = \left( U, +, \times \right)$ tetszőleges gyűrű, és tekintsük az $R$ feletti $R_{\mathbb{N}} = \left\{ \left( r_{n} \right) ^{n \in \mathbb{N}} \ | \ r \in R \right\}$ végtelen $\left( r_{n} \right) _{n \in \mathbb{N}} = \left( r_{0} , r_{1} , r_{2} , r_{3} , .... \right)$ sorozatok halmazát (megjegyzés, $K D$ -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát $R_{\mathbb{N}}$ felett két kétváltozós $\oplus$ és $\otimes$ műveletet a következőképp:

$\oplus : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \oplus (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = (r_{i}+s_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: $\otimes : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \otimes (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = ( \sum_{j=0}^{i} r_{j}s_{i-j} )_{i \in \mathbb{N}}$ .

A $K[[x]] := \left( R^{\mathbb{N}} , \oplus , \otimes \right)$ algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az $R$ feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

[szerkesztés] Polinom

Ha egy $\left( s_{i} \right) \in R^{\mathbb{N}}$ sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát $E \left( \left( s_{i} \right) \right) = \left\{ j \in \mathbb{N} \ | \forall k \in \mathbb{N} : j \le k \Rightarrow s_{k} =0 \right\} \subseteq \mathbb{N}$ -vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát.
Részletek a cikk vitalapján.
Az ezen a lapon látható jelölés 2005 januárjából származik.