Dandelin-gömb
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A geometriában egy kúp síkmetszésével szerkesztett, nem degenerált kúpszelethez egy vagy két Danedelin-gömb rendelhető, mely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- Minden Dandelin-gömb érinti, de nem hatja át a síkot és a kúpot.
Ezeket a gömböket Germinal Pierre Dandelin tiszteletére nevezték el.
Minden kúpszeletnek mindegyik fókuszához egy-egy Dandelin-gömb tartozik.
- Az ellipszisnek két Dandelin-gömbje van, ezek ugyanazt a félkúpot érintik.
- A hiperbolának két Dandelin-gömbje van, egyik az egyik, másik a másik félkúpot érinti.
- A parabolának csak egy Dandelin-gömbje van.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Dandelin tétele
A Dandelin-gömb a következő tétel miatt tart számot érdeklődésre:
- Ahol a Dandelin-gömb érinti a síkot, az a pont a kúpszelet fókusza.
[szerkesztés] A Dandelin tétel bizonyítása
Tekintsük az ábrát, ahol egy sík egy kúpból ellipszist metsz ki. Az ábrán feltüntettük a két Dandelin-gömböt. Mindkét gömb egy-egy körben metszi a kúpot. Mindkét gömb a síkot egy-egy pontban érinti. Nevezzük ezeket a pontokat 
-nek és 
-nek. Legyen 
az ellipszis egy tetszőleges pontja. Meg kell mutatnunk, hogy az 
távolság állandó marad, ha a pont tetszőleges helyzetet foglal el az ellipszis mentén. A ponton és a kúp csúcspontján át húzott egyenes a két kört a 
és 
pontban metszi. Ahogy a pontot elmozdítjuk az ellipszis mentén, a és pont is ennek megfelelően elmozdul a körök kerületén. Az 
távolság és a távolság egyenlő, mivel mindkettő ugyanabból a pontból ugyanahhoz a gömbhöz húzott érintő. Következésképpen az távolságnak állandónak kell maradnia, ahogy a pont a görbe mentén elmozdul, mivel a 
távolság is állandó marad. Ez abból a tényből következik, hogy a pont a 
egyenesen fekszik, és a távolság állandó marad.
Hasonló levezetéseket lehet végezni kúp olyan síkmetszetére, amely parabolát és hiperbolát vág ki a kúpból, illetve egyenes körhenger ferde síkmetszetére, amely szintén ellipszist eredményez. [1]
[szerkesztés] A tétel következményei
Ha az ellipszist úgy definiáljuk (amint az gyakran történik), hogy az azoknak a pontoknak a mértani helye, melyekre igaz, hogy 
, az előbbi gondolatmenet bizonyítja, hogy a kúp síkmetszete valóban ellipszis. Ebből az is következik, hogy a kúp síkmetszete szimmetrikus az 
egyenesre.
[szerkesztés] A direktrix a Dandelin-gömbökkel
A Dandelin-gömbök segítségével a direktrixeket is meg lehet találni. Mindkét Dandelin-gömb egy kör mentén érinti a kúpot. A kör síkjának és a metszősíknak az áthatási vonala a direktrix. Ez ellipszisnél és hiperbolánál két direktrixet eredményez, parabolánál csak egyet.
[szerkesztés] Jegyzetek
- ^ Hajós György: Bevezetés a geometriába. 9. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. ISBN 963 18 3173 6
