Polje (matematika)

Izvor: Wikipedija

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je $\mathbb{Q}$ , polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva $\mathbb{R}$ , polje kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$ i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

[uredi] Ekvivalentne definicije

[uredi] Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

[uredi] Definicija 2

Polje je komutativni prsten ( $\mathbb{F}$ , +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od $\mathbb{F}$ osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primjetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

[uredi] Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od $\mathbb{F}$ za + i *: $\forall a, b \in \mathbb{F}$ , $a + b \in \mathbb{F}$ i $a * b \in \mathbb{F}$ (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
+ i * su asocijativne operacije: $\forall a, b, c \in \mathbb{F}$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ i $a * (b * c) = (a * b) * c$ .
+ i * su komutativne operacije: $\forall a, b \in \mathbb{F}$ , $a + b = b + a$ i $a * b = b * a$ .
Vrijedi distributivnost operacije * prema +: $\forall a, b, c \in \mathbb{F}$ , $a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$ .
Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje: $\exists 0 \in \mathbb{F}$ takav da je $\forall a \in \mathbb{F}$ , $a + 0 = 0 + a = a$ .
Postojanje neutralnog elementa za množenje: $\exists 1 \in \mathbb{F}$ takav da je $\forall a \in \mathbb{F}$ , $a * 1 = 1 * a = a$ .
Postojanje inverza za zbrajanje: $\forall a \in \mathbb{F}$ $\exists -a \in \mathbb{F}$ , takav da je $a + ( - a) = - a + a = 0$ .
Postojanje inverza za množenje: $\forall a \in \mathbb{F}, a \neq 0$ , $\exists a^{-1} \in \mathbb{F}$ , takav da je $a * a - 1 = a - 1 * a = 1$ .

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ( $\mathbb{F}$ , +) i
( $\mathbb{F}\setminus \{0\}$ , *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

[uredi] Primjeri

Kompleksni brojevi $\mathbb{C}$ , s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća podpolja:
Racionalni brojevi $\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b}$ | $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}$ , gdje je $\mathbb{Z}$ skup cijelih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.