Hélice (xeometría)

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

Un exemplo de hélice natural, utilizada pola videira.

Hélice

A hélice (do grego έλικας/έλιξ,hélix, espiral), é unha curva que se pode explicar como o enrolamento regular dunha recta sobre un cilindro, tendo polo tanto forma de parafuso ou espiral (máis correctamente, helicoidal).

En matemática, a hélice é descrita como unha curva no espazo tridimensional que combina un movemento de rotación arredor dun punto cun movemento de translación deste punto. As tres ecuacións a seguir definen unha hélice en coordenadas rectangulares:

$x = \cos(t),\,$

$y = \sin(t),\,$

$z = t.\,$

En coordenadas cilíndricas (r, θ, h), a mesma hélice é descrita por:

$r = 1,\,$

$\theta = t,\,$

$h = t.\,$

As hélices son importantes na bioloxia, onde o DNA está constituído por cadeas helicoidais e moitas proteínas posúen subestruturas helicoidais, coñecidas como alfa-hélices.

Índice

1 Definición Matemática
2 Teorema de Lancret
3 Hélices importantes
4 Véxase tamén
- 4.1 Outros Artigos
- 4.2 Ligazóns Externas

[editar] Definición Matemática

Toda curva con tanxentes que formen un ángulo α, constante, cunha dirección fixa do espazo recibe o nome de hélice. Se a súa ecuación vectorial é $\bar{R} = \bar{R}(s)$ , sendo s o arco, quere dicir que existe un vector unitario $\bar{a}$ fixo tal que para todo s verificase $\bar{T}(s)\bullet\bar{a}=\cos \alpha$ (constante).

[editar] Teorema de Lancret

Unha caracterización das hélices ven dada polo teorema coñecido coma teorema de Lancret, que dí que é condición necesaria e suficiente para que unha curva sexa unha hélice que se verifique $\frac{\kappa}{\tau}=cte$ , sendo tanα a constante, onde $κ$ é a curvatura e $τ$ a torsión.

[editar] Hélices importantes

[editar] Hélice cilíndrica

Una hélice cilíndrica é unha curva que corta á xeratrices dun cilindro recto cun ángulo constante. Esto quere dicir que a distancia entre dous puntos de corte consecutivos da hélice con cualquera das mencionadas xeratrices (rectas paralelas ao eixo do cilindro e contidas na súa superficie externa) é unha constante da curva, independente da xeratriz ou os puntos escollidos, chamada "paso de hélice".

[editar] Expresión analítica

Dende un punto de vista analítico, unha hélice cilíndrica queda definida poas seguientes expresións:

$x = \rho \cos \theta \,$

$y = \rho \sin \theta \,$

$z = \tan \alpha \theta \,$

O paso de hélice (o que "avanza" cando a curva dá unha volta ao redor do cilindro) é:

$2\pi \tan \alpha \,$

[editar] Propiedades

A proxección da hélice sobre un plano paralelo ao eixo do cilindro é unha curva sinusoidal.
A xeodésica dun cilindro recto de base circular é un arco de hélice (é dicir, o camiño máis curto entre doos puntos situados na superficie dun cilindro, que non saia de dita superficie, é un anaco de hélice).

[editar] Hélice cónica

Chámase hélice cónica a toda helice situada sobre un cono.

[editar] Expresión analítica

$x = t \cos t\,$

$y = t \sin t\,$

$z = a t\,$

[editar] Hélice esférica

Chámase hélice esférica a toda hélice contida nunha esfera. Por ser hélice verificarase $\frac{\kappa}{\tau}=\tan \alpha \,$ (constante), ou o que é o mesmo $\tau = \kappa \cot \alpha \,$ .

Por ser unha curva esférica, a esfera osculatriz será constante, sendo dita esfera osculatriz a esfera sobre a que está situada a curva. Entón o radio da esfera osculatriz é constante. Polo tanto $\frac{1}{\kappa^{2}}+\frac{\kappa^{'2}}{\kappa^{4}\tau^{2}}=a^{2}$ (constante).

Como $\tau = \kappa \cot \alpha \,$ , será $\frac{1}{\kappa^{2}}+\frac{\kappa^{'2}}{\kappa^{6}\cot^{2}\alpha}=a^{2}$

Facendo o cambio $\kappa=\frac{1}{\rho}$ , obtense:

$\rho^{2}+\rho^{2}\rho^{'2}\tan^{2}\alpha=a^{2}\,$ , ou o que é o mesmo, $\frac{\rho d\rho}{\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}}\tan\alpha=ds$

Integrando a igualdade anterior obtense: $-\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}\tan\alpha=s+C$ . Pódese facer C=0, tomando coma orixe de arcos, é dicir s = 0, o punto no que $\kappa(s)=\frac{1}{a}$ e polo tanto $ρ = a$ . Aceptando esta hipótese e elevando ao cadrado $-\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}\tan\alpha=s$ obtense $a^{2}-\rho^{2}=s^{2}\cot^{2}\alpha\,$ . Como $\rho=\frac{1}{\kappa}$ será: