Transversalité
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En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.
Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont dits transverses quand F + G = E. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :
Deux sous-variétés M et M' d'une variété différentielle P sont transverses lorsque, pour tout point x de , les espaces tangents sont transverses :
Dans la suite, m,n,p désignent les dimensions respectives de M,N,P.
Remarques :
- La définition reste valable pour les variétés banachiques.
- Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
- Si m + n < p, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés M et P sont disjointes.
Théorème — Si , alors une intersection transverse est une sous-variété différentielle de dimension m + n − p.
Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).
[modifier] Nombre d'intersection
[modifier] Généricité
Théorème — Si M et N sont deux sous-variétés de classe Ck de dimensions respectives m et n, alors il existe un Ck-difféomorphisme h de P, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie Ck, tel que h(M) intersecte transversalement N.
En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.