Discuter:Transformée de Fourier

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une question bébête : c'est quoi le "i" dans la formule de la TF ? c'est peut-être évident pour tout le monde mais je vois pas et pourtant jai fait un bac s (bon ok j'étais pas fort en maths ^^)

c'est un nombre complexe tel que

i 2 = - 1

Peps 20 février 2007 à 11:37 (CET)

Il existe exactement deux nombres complexes (un noté i l'autre étant alors -i) tels que i^2=-1. Il provient de la définition même des nombres complexes. C'est un corps dans lequel les réels négatifs possèdent des racines carrées (cependant non canoniquement déterminées). Le fait qu'il y ait un "choix" entre i et -i reflète le fait que la conjugaison complexe est un automorphisme de C sur R (l'unique tel automorphisme non trivial), ou encore que C est bien déterminé modulo un automorphisme sur R. J'espère que ça répond à la question.

La transformée de Fourier suppose connue le corps des nombres complexes, une bonne théorie de l'intégration et au moins une idée intuitive de ce à quoi ressemble un espace fonctionnel. Je pense que ce sont des connaissances préalables à la lecture de l'article.

Ekto - Plastor 20 février 2007 à 18:56 (CET)

Ne pourrait-on pas mettre un lien sur le "i" dans la formule vers sa définition mathématique, ou vers l'article des nombres complexes ?

--Yuga 24 février 2007 à 13:47 (CET)

Je ne vois pas d'intéret à mettre un lien sur le i, si tu ne sais pas ce qu'ai i tu as un bout de chemin à faire avant d'arriver au transformée de Fourier (Je pense). Si on met un lien sur i, pourquoi ne pas en mettre sur le signe intégral ou sur l'exponentiel?

Bongilles 17 mai 2007 à 20:10 (CEST)

J'aurai aimé en savoir plus sur l'utilisation des transformées de fourrier dans un contexte de crystallographie , pour savoire comment on passe d'un cliché de diffraction a une carte de densité electronique. Que mesure t'on sur le cliché de difraction (la distance au centre de chaque point? ça deviation angulaire?) quelle est la methodologie generale?

huhu je serai pas aussi difficile lol (la TF de fourier est utilisée un peu partout alors si on se met à décrire chaque domaine... on a pas fini)

Par contre si qq'un de compétent tombe sur ce commentaire, ce serai sympa de faire une vulgarisation comme pour la page de Produit_de_convolution. Merci d'avance

Mamelouk

Sommaire

1 Pour les groupes
2 Normalisation de la formule
3 Inversion sur
4 Preuve de la formule d'inversion
5 Fonction de carré sommable:
6 Notation du produit scalaire.
7 Analyse non standard
8 Propriétés
9 Facteur de normalisation dans l'introduction

[modifier] Pour les groupes

Quid de la transformée de Fourier pour les groupes localement compacts ?

Ektoplastor

[modifier] Normalisation de la formule

Il me semble qu'il faudrait choisir une normalisation et s'y tenir. EN effet dans la partie sur la transformée de fourier dans R, elle est définie par $Tf(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \exp{(-ixs)} dx$ alors que dans la partie transformee de fourier pour une fonction dégfinie sur Rn on a : $Tf (s) = \int_{R^n}f(x) \exp{(-2 i \pi x.s)} dx$ Il me semble qu'il serait préférable de tout unifier.

J'approuve. Ekto - Plastor 26 février 2007 à 23:09 (CET)

Je crois que ce commentaire n'est plus d'actualité, ne faudrait il pas le supprimer. Etant nouveau contribuable wikipédien je ne me permet pas.

Bongilles 17 mai 2007 à 20:16 (CEST)

[modifier] Inversion sur $\mathbb{R}^n$

Si je ne me trompe pas, $F = \hat{f}$ est une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ (peut être serait t'il bon de le préciser). Si c'est effectivement le cas alors on ne peut pas intégrer F de $-\infty$ à $+\infty$ mais on l'intègre sur $\mathbb{R}^n$ .

Il me semble également qu'il faut écrire dans la formule d'inversion $e^{i <w\cdot x>}\,$ et non $e^{iwx}\,$

Encore une chose il me semble qu'il y à un coefficient devant l'intégral: $({1 \over 2\pi})^n$ . Si on ne met pas de coeficient, ça ne peut pas être cohérent avec la formule d'inversion sur $\mathbb{R}$ .

Donc en résumé je pense que la formule d'inversion est: $f(x) = ({1 \over 2\pi})^n \int_{\mathbb{R}^n} F(w)\, e^{i <w\cdot x>}\, dw$ et non $f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(w)\, e^{iwx}\, dw$

Bongilles 17 mai 2007 à 20:10 (CEST)

je pense comme bongilles qu'il faudrait redéfinir les transformées de R^n dans R plutot que de R dans R

ke20 28 décembre 2007 à 18:03 (CEST)

[modifier] Preuve de la formule d'inversion

Dans la démo on dit que les $e_n:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2 T}}e^{in\pi x/T}$ forment une base orthonormée totale de l'espace de Hilbert L2([ − T,T]).

Y'à t'il une preuve quelque part sur wikipédia de cette affirmation? Je n'en n'ai pas trouver, si quelqu'un de compétent pouvez s'en charger ça complèterait bien.

Bongilles 17 mai 2007 à 20:31 (CEST)

[modifier] Fonction de carré sommable:

Je pose ici la même question que j'ai posé en commentaire à la page théorème de Plancherel: Qu'est ce que la convergence en moyenne quadratique?

Autre question, comment montre t'on que $L_1 \cap L_2 \,$ est dense dans $L_2 \,$ ?

Bongilles 17 mai 2007 à 20:54 (CEST)

On peut utiliser le fait que, pour tout $p \in [1,+\infty[$ , l'espace vectoriel des fonctions continues à support compact sont denses dans

L p

pour la norme

| | . | | p

Mieux encore: utiliser plutôt l'espace de Schwarz, ce qui permet de traiter simplement l'inversion de Fourier.

Mû 10 août 2007 à 17:03 (CEST)

on a aussi pour f dans $L_1 \cap L_2 \,$ , f.Boule(0,n) Converge (norme de $L_2 \,$ vers f

ke20 29 décembre 2007 à 12:09 (CEST)

[modifier] Notation du produit scalaire.

Ne pensez vous pous qu'il serait plus clair de noter le produit scalaire par $<x\cdot w>$ plutôt que simplement $x\cdot w$ ?

Bongilles 17 mai 2007 à 21:15 (CEST)

[modifier] Analyse non standard

Est-il bien pertinent de parler d'analyse non standard dans l'introduction? Je conçois que ce genre de remarque ait sa place en fin d'article mais ici on pourrait croire, à tort, que l'analyse non standard joue un rôle important pour la transformée de Fourier alors que personne ne s'en sert. En clair, la phrase embrouille pour rien. On la déplace? Mû 11 juin 2007 à 08:38 (CEST)

dans mes souvenirs il existe 4 types généraux de transformées de fourrier.

1.Npériodique discret <-> Npériodique discret (Fdd)

2.Tpériodique continu <-> apériodique discret (Fcd)

3.apériodique continu <-> apériodique continu (Fcc)

4.apériodique discret <-> 2pi périodique continu (Fdc)

où continu désigne ici soit continu par morceau, soit de carré intégrable, ou autre suivant l'espace de validité

appelez vous ces transformations différement que transformées de fourier ou présent dans un autre article ou n'en parlez pas?

D.RENAULD (d) 26 novembre 2007 à 13:27 (CET)

[modifier] Propriétés

Bonjour,
Je travaille dans le domaine du traitement du signal et je pense sincèrement que de nombreuses propriétés de la TF manquent dans cet article, notamment : - Propriétés de parité et symétrie de la TF (TF de fonction réelle paire, imaginaire impaire, ...) - la notion de dirac n'est pas abordé, et ça manque. - Propriétés essentielles de translation, TF[f(t+dt)], de similitude, TF[f(ax)], de linéarité, de modulation, ....

Qu'en pensez-vous ? je propose de modifier la section propriétés pour y ajouter (ou substituer) :

Cette transformation est linéaire : $\mathcal{F}\{a.f(t)+g(t)\} = a.\hat{f}(\xi) + \hat{g}(\xi)$
La contraction dans un domaine implique une dilation dans l'autre : $\mathcal{F}\{a.f(t)\} = \frac{1}{|a|}.\hat{f}(\xi/a)$ . Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un gramophone. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
La translation dans le domaine temporel implique une modulation dans le domaine fréquentiel : $\mathcal{F}\{f(t+t_0)\} = \hat{f}(\xi).e^{-\mathrm{i} \xi t_0}$
A l'inverse, une modulation dans le domaine temporel se traduit par une translation dans le domaine fréquentiel : $\mathcal{F}\{f(t).e^{\mathrm{i} t \xi_0}\} = \hat{f}(\xi-\xi_0)$
Quelques propriétés de parité de symétrie de cette transformation :
- Si f est une fonction réelle et paire alors $\hat{f}$ est une fonction réelle et paire
- Si f est une fonction réelle et impaire alors $\hat{f}$ est une fonction imaginaire et impaire
- Si f est une fonction imaginaire et paire alors $\hat{f}$ est une fonction imaginaire et paire
- Si f est une fonction imaginaire et impaire alors $\hat{f}$ est une fonction réelle et impaire
- Si f est une fonction complexe et paire alors $\hat{f}$ est une fonction complexe et paire
- Si f est une fonction complexe et impaire alors $\hat{f}$ est une fonction complexe et impaire
Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors $\hat{f}$ est une fonction non-nulle sur $\mathbb{C}$ et inversement, si $\hat{f}$ est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur $\mathbb{C}$ .

En ajoutant (je ne sais trop où) une explication de la fonction de dirac :
Bien qu'elle ne soit pas une fonction au sens mathématique, l'impulsion de Dirac, notée δ(t), est très utile dans le domaine de l'analyse fréquentielle. On la définie en générale comme étant la limite la fonction «rectangle» dont la surface est égale à 1 lorsque T → +∞. Cette fonction rectangle, r(t) vaut 0 si |t| > 1/2T et vaut T lorsque |t| < 1/2T. lorsque T → +∞, 1/2T → 0. L'impulsion de dirac est nulle en tout point de $\mathbb{R}_*$ est vaut +∞ pout t=0. On constate que $\mathcal{F}\{d(t)\}$ = 1.
La fonction δ(t-t_0) est l'impulsion de dirac translatée de t_0. elle est donc nulle en tout point de $\mathbb{R}_*$ et vaut +∞ pout t=t_0. On peut alors montrer les égalités suivantes :
$\mathcal{F}\{d(t-t_0)\} = e^{-\mathrm{i} \xi t_0}$ et inversement $\mathcal{F}^{-1}\{d(t-t_0)\} = e^{\mathrm{i} \xi t_0}$ (harmonique "pure"). Cette égalité à une conséquence fondamentale en traitement du signal. Elle implique qu'un signal de fréquence pure -par exemple le son d'un diapason- à une transformée de Fourier réduite à $\hat{f} = d(t-t_0)$
De plus, on peut écrire $cosξ t = e - iξ t + e iξ t$ on alors donc l'égalité $\mathcal{F}\{\cos{\xi t}\} = \frac{1}{2}[d(t-t_0)+d(t+t_0)]$

En outre, on peut également montrer l'égalité $\mathcal{F}\{d(t-t_0).f(t)\} = f(t_0)$ .

PS1 : Si nécessaire je peut ajouter les démonstrations de ces propriétés et des figures pour illustrer certains concepts (contraction <-> dilation, impulsion de Dirac, fonction rectangle, ...)
PS2 : Si qq1 sait faire un dirac δ(t) dans des balises de math merci =)
--Remi.mahel (d) 26 mars 2008 à 15:55 (CET)

J'ai ajouté les propriétés. Je laisse soin à des wikipédiens plus expérimentés de délimiter ce qui doit être présent dans cet article concernant la fonction de dirac.

[modifier] Facteur de normalisation dans l'introduction

Il me semble que dans l'introduction, où la TF est définie, normalement il n'y a pas de facteur de 1/2pi pour le cas des fréquences ni pour la Tranformée ni pour l'invese. Pas besoin. Par contre pour les pulsation il me semble qu'il en faut un.

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