Théorème des zéros de Hilbert
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème central de géométrie algébrique qui fait le lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.
[modifier] Énoncé
Il existe plusieurs formulations équivalentes du théorème des zéros de Hilbert.
Théorème 1
Si K un corps, , alors l'idéal est un idéal maximal de
Pour montrer que I est maximal, nous allons montrer que est un corps.
On considère le morphisme d'anneau surjectif :
φ est un morphisme d'anneau surjectif: .
On a ainsi , avec K un corps, donc Ker(φ) est un idéal maximal.
Montrons maintenant que Ker(φ) = (X1 − a1,...,Xn − an)
Soit et divisons le par X1 − a1. On a ainsi Par récurrence sur n, on a : Et finalement .
Théorème 2
Soit K un corps, L une K-algèbre de type fini.
Si L est un corps, alors L est une extension algébrique de K.
Thèorème 3 (Nullstellensatz)
Si K est algébriquement clos, on a :
Si M est un idéal maximal de , alors il existe tel que
Soit M un idéal maximal de .
est une K-algèbre de type fini, et L est un corps puisque M est maximal.
D'après le théorème 2, L est un extension algébrique de K qui est lui même algébriquement clos.
On a donc K=L.
Donc .
On a donc , mais comme M est maximal, on a l'égalité.
Théorème 4 (Existence des zéros)
Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre
Exemple : est un idéal maximal dans puisque et il n'existe pas de tel que (X2 + 1) = (X − x).
Soit K un corps algébriquement clos. Soit I un tel idéal.
I est inclus dans un idéal maximal M, d'où d'après le théorème 3, et donc