Temps d'arrêt

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[modifier] Définitions

Définition

Une variable aléatoire $T : \Omega \rightarrow \mathbb N \cup \{ \infty \}$ est un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}_n)_n$ si:

$( T=n ) \in \mathcal{F}_n \ \forall n \in \mathbb N$ .

Par équivalence, on peut le définir par:

$\forall n\in \mathbb N\ ,\ (T\le n) \in \mathcal{F}_n$ .

Notation

Soit $(X_n)_n \,$ une suite de variables aléatoires. Soit T un temps d'arrêt.

On note $Z_T(\omega)=Z_{T(\omega)}(\omega)\,$ .

Notation

Soit $T \,$ un temps d'arrêt et $N \in \mathbb N$ .

$T \wedge N$ est la variable aléatoire définie par $(T \wedge N)(\omega)=min(T(\omega),N) \,$ .

$T \vee N$ est la variable aléatoire définie par $(T \vee N)(\omega)=max(T(\omega),N) \,$ .

[modifier] Propriétés

Propriété

Soit $T\,$ un temps d'arrêt, $N\in \mathbb N$ .

$S:= T \wedge N$ est un temps d'arrêt.

Il en est de même pour $T \vee N$ et $T+N\,$

Démonstration:

On ne démontrera que le premier, les deux autres étant semblables.

$\{ S =n \} = \{ T\wedge N =n \} = \{ T=n , n \le N \} \cup \{ n=N , T \ge N\}$ .

$\{ T=n \} \in \mathcal{F}_n \ si \ n \le N$ et $\{ T \ge n\} = \{ T < n \}^c \in \mathcal{F}_n$

De même, si $S\ et \ T$ sont des temps d'arrêts, alors $S\wedge T$ en est un.

Définition propriété

Soit $T\,$ un temps d'arrêt et $A \in \mathcal{F}_\infty$ .

$A\,$ est appelé évènement antérieur à $T\,$ si:

$\forall n \in \mathbb N \ A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n$ .

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de $\mathcal{F}_\infty$ appelé tribu antérieure à $T\,$ notée $\mathcal{F}_T$

Démonstration:

$\mathcal{F}_T$ contient $\Omega \,$

$\mathcal{F}_T$ est stable par réunion dénombrable

Soit $n\in \mathbb N$ . On a $A \cap (T=n) \in \mathcal{F}_n\ et \ (T=n) \in \mathcal{F}_n$ .

D'où $\mathcal{F}_n \ni (T=n) \cap (A \cap (T=n))^c = (T=n) \cap (A^c \cup (T\not\in n)) =\ldots =A^c \cap (T=n)$

Proposition

Soit $S\,$ et $T\,$ deux temps d'arrêts tel que $S\le T$ p.s..

On a alors $\mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T$ .

Démonstration:

Soit $A \in \mathcal{F}_S$ , c’est-à-dire $\forall n\in \mathbb N\ ,\ (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ . Comme de plus $S\le T\,$ p.s., $(T\le n)\subset (S\le n)$ .

$A\cap (T\le n) = A\cap (T\le n)\cap (S\le n)$ . Or $A\cap (S\le n) \in \mathcal{F}_n$ et $(T\le n)\in \mathcal{F}_n$ car $T\,$ est un temps d'arrêt. Donc $A\cap (T\le n) \in \mathcal{F}_n$