Représentation adjointe
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Tout groupe de Lie connexe G admet une représentation naturelle, appelée représentation adjointe dont l'introduction est liée à la définition de son algèbre de Lie. La forme bilinéaire associée est la forme de Killing.
À tout élément x de G est associé l'automorphisme intérieur ιx défini par : ιx(y) = xyx − 1. Cette application est un automorphisme de groupe de Lie. Sa différentielle en l'élément neutre est une application linéaire où désigne l'espace tangent de G en son élément neutre. L'application est un morphisme de groupes de Lie : c'est la représentation adjointe.
Si G est un groupe de Lie , l'application ad est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation est différentiable. Mais par définition de ad, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de .
En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.
La représentation adjointe sert notamment à définir une structure d'algèbre de Lie sur . La différentielle de la représentation adjointe en l'élément neutre fournit une application différentiable :
On définit le crochet de Lie de deux vecteurs X et Y par :