Régulateur PID

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Un régulateur Proportionnel Intégral Dérivé (PID) est un organe de contrôle permettant d’effectuer une régulation en boucle fermée d’un système industriel (voir automatique). C’est le régulateur le plus utilisé dans l’industrie et permet de contrôler la grande majorité des procédés.

[modifier] Principe général

Le PID permet 3 actions simultanées sur l'erreur consigne/mesure :

Une action Proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain Gr
Une action Intégrale : l'erreur est intégrée sur un intervalle de temps Ti
Une action Dérivée : l'erreur est dérivée suivant un temps Td

Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les 3 effets (série, parallèle ou mixte), on prendra une architecture parallèle ici :

La fonction de transfert avec la transformée de Laplace du régulateur PID parallèle est la somme des 3 actions:

$C(s)=Gr + Td \cdot s + \frac{1}{Ti} \cdot \frac{1}{s}=\frac{Gr \cdot Ti \cdot s + Td \cdot Ti \cdot s^2 + 1}{Ti \cdot s}$

Les différents paramètres à trouver sont Gr, Td et Ti pour réguler le procédé ayant pour fonction de transfert H(s). Il existe de nombreuses méthodes pour trouver ces paramètres. Cette recherche de paramètre est communément appelée réglage.

La fonction de transfert du contrôleur PID idéale est irréalisable car l'ordre du numérateur est supérieur à l'ordre du dénominateur. Dans la réalité, on rajoute toujours un paramètre alpha sur l'action dérivée de manière à obtenir un ordre 2 au numérateur et au dénominateur :

$Td \cdot s \to \frac{Td \cdot s}{1+\alpha \cdot Td \cdot s}$ avec $α < < 1$ On obtient alors une nouvelle fonction de transfert réalisable pour notre régulateur:

$C(s) = \frac{(Gr \cdot Ti \cdot Td \cdot \alpha+Td \cdot Ti) s^2 + (Gr \cdot Ti+ \alpha \cdot Td)\cdot s + 1}{\alpha \cdot Ti \cdot Td \cdot s^2 + Ti \cdot s}$

Néanmoins, pour limiter les effets néfastes du bruit du signal de mesure sur le signal de commande u, on modère l'effet de l'action dérivée dans les régulateurs industriels en adoptant généralement alpha ~ 0,1.

[modifier] Réglage d'un PID

Le réglage d'un PID consiste à determiner les coefficients Gr, Td et Ti afin d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être robuste, rapide et précis. Il faut pour cela limiter le ou les éventuels dépassements (overshoot).

La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit qu'un système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Par exemple, les fonctions de transfert de certains procédés peuvent varier en fonction de la température ambiante ou de l'hygrométrie ambiante relativement à la loi de Pascal. Un régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces changements pour éviter de redévelopper un nouveau régulateur toutes les semaines.
La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime stationnaire.
Le critère de précision est basé sur l'erreur statique.

La réponse type d'un procédé stable est la suivante :

Les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante :

Gr : Lorsque Gr augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il y a un dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouve améliorée.
Ti : Lorsque 1/Ti augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un dépassement plus important. Le temps d'établissement au régime stationnaire s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique nulle.
Td : Lorsque Td augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue. Le temps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influences sur l'erreur statique.

L'analyse du système avec un PID est très simple mais sa conception peut être délicate, voire difficile, car il n'existe pas de manière unique pour résoudre ce problème. Il faut trouver des compromis, le régulateur idéal n'existe pas. En général on se fixe un cahier des charges à respecter sur la robustesse, le dépassement et le temps d'établissement du régime stationnaire.
Les méthodes de réglage les plus utilisées sont la méthode de Ziegler-Nichols, la méthode de P. Naslin (polynômes normaux à amortissement réglable), la méthode du lieu de Nyquist inverse (utilise le diagramme de Nyquist).
Dans ~15% des cas les performances d'un PID peuvent devenir insuffisantes en raison de la présence d'un retard trop important dans le modèle du procédé, on fait alors appel à d'autres algorithmes de réglage (notamment: régulateur PIR ou à modèle interne ou à retour d'état).