Puissance de deux
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En mathématiques, une puissance de deux est n'importe quel entier positif mis en exposant du nombre deux ; en d'autres mots, deux fois lui-même un certain nombre de fois. Un est une puissance (la puissance zéro) de deux. Écrite en binaire, une puissance de deux est toujours de la forme 10000…0, comme une puissance de dix dans le système décimal.
Comme deux est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).
Les nombres de cette forme apparaissent parfois dans les logiciels. Par exemple, dans le jeu vidéo La légende de Zelda pour la console de jeu Nintendo 8 bits, on peut seulement travailler avec des nombres longs de 255 bits à la fois - le résultat d'un octet, qui est de longueur 8 bits, utilisé pour stocker un nombre, donné par une valeur maximale de 28-1 = 255.
Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (23) bits, et un Kilo-octet contient 1 024 (210) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux (on est actuellement en train d'entamer une transition de 32 à 64 sur les PC).
Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et/ou nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors ce que l'on nommait une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a fini par être abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.
La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.
On retrouve dans les résolutions vidéo des nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, la résolution des écrans 14′′.
On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme . Par exemple, le nombre premier 31 et qui s'écrit sous la forme 32 (25) moins 1.
Sommaire |
[modifier] Les quarante premières puissances de deux
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2 |
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2 048 |
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2 097 152 |
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2 147 483 648 | |||
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4 |
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4 096 |
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4 194 304 |
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4 294 967 296 | |||
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8 |
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8 192 |
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8 388 608 |
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8 589 934 592 | |||
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16 |
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16 384 |
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16 777 216 |
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17 179 869 184 | |||
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32 |
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32 768 |
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33 554 432 |
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34 359 738 368 | |||
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64 |
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65 536 |
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67 108 864 |
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68 719 476 736 | |||
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128 |
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131 072 |
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134 217 728 |
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137 438 953 472 | |||
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256 |
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262 144 |
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268 435 456 |
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274 877 906 944 | |||
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512 |
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524 288 |
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536 870 912 |
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549 755 813 888 | |||
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1 024 |
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1 048 576 |
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1 073 741 824 |
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1 099 511 627 776 |
[modifier] Puissances de deux qui ont comme exposants des puissances de deux
Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux. – Une courte liste de certaines d'entre-elles :
2 | = | 21 |
4 | = | 22 |
16 | = | 24 |
256 | = | 28 |
65 536 | = | 216 |
4 294 967 296 | = | 232 |
18 446 744 073 709 551 616 | = | 264 |
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456 | = | 2128 |
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 937 | = | 2256 |
[modifier] D'autres puissances de deux remarquables
- 224 = 16 777 216 – Le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateurs.
Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
[modifier] Théorèmes
- La somme des puissances de 2 est égale à la puissance de deux suivante moins un.
- Une puissance de deux est égale à la somme de toutes les puissances de deux inférieures plus un.
- Un entier est divisible par si et seulement si le nombre composé de ses derniers chiffres est divisible par .