Produit tensoriel de deux applications linéaires

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[modifier] Définition

On suppose dans cette partie que l'anneau d'opérateurs A des modules étudiés est commutatif. Avec les notations introduites en introduction, l'application suivante de $E_1 \times E_2$ dans $F_1 \otimes_A F_2$

$(x,y) \mapsto u(x) \otimes v(y)$

est une application A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une application $\varphi(u,v)$ de $E_1 \otimes_A E_2$ dans $F_1 \otimes_A F_2$ telle que :

$\forall (x,y) \in E \times F, \varphi(u,v)(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)$

En fait, l'application $\varphi$ de l'espace $\mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \times \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2)$ dans le module $\mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2)$ est bilinéaire, il existe donc une application $\psi : \mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2) \to \mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2)$ telle que :

$\varphi(u,v) = \psi(u \otimes v)$ pour toutes applications A-linéaires $u : E_1 \to F_1$ , $v : E_2 \to F_2$ .

L'application $φ(u, v)$ de $E_1 \otimes_A E_2$ dans $F_1 \otimes_A F_2$ s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique $u \otimes v$ . Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

L'application A-linéaire $\varphi(u,v)$
L'élément du produit tensoriel $\mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2)$ qui n'est pas une application linéaire.

D'autant plus que ψ ne réalise pas systèmatiquement un isomorphisme de $\mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2)$ sur $\mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2)$ , si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « $u \otimes v$ ».

Néanmoins, quand tous les modules $E 1, E 2, F 1, F 2$ ont des bases finies (ce qui en particulier le cas lorsque l'on manipule des espaces vectoriels de dimension finie), alors ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre le deux notations $u \otimes v$ .

Démonstration de ce résultat

Notons $(a_{i,p_i})$ une base de $E i$ pour i = 1 ou 2, et $(b_{i,q_i})$ une base de $F i$ pour i = 1 ou 2. Pour tout couple $(p 1, p 2)$ on pose $a_{p_1,p_2} = a_{1,p_1} \otimes a_{2,p_2}$ , la famille ainsi définie $(a_{p_1,p_2})_{(p_1,p_2)}$ est une base du produit tensoriel $E_1 \otimes_A E_2$ .

De manière analogue, on définit une base $(b_{q_1,q_2})_{(q_1,q_2)}$ du produit tensoriel $F_1 \otimes_A F_2$ .

Notons $u_{p_i,q_i}$ l'application A-linéaire $E_i \to F_i$ telle que $u(a_{i,p_i}) = b_{i,q_i}$ et $u(a_{i, p_i'}) = 0$ pour $p_i' \neq p_i$ .

Comme toutes les familles manipulées sont finies, la famille $(u_{p_i,q_i})_{p_i,q_i}$ est une base du module $\mathrm{Hom}_A \,(E_i,F_i)$ (attention, ce résultat a priori serait faux si la famille était infinie).

On définit $u_{p_1,p_2,q_1,q_2} = u_{p_1,q_1} \otimes u_{p_2,q_2}$ l'élément de $\mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2)$ . La famille $(u_{p_1,p_2,q_1,q_2})$ est une base finie de ce module.

Or l'image par $ψ$ de $u_{p_1,p_2,q_1,q_2}$ est l'application A-linéaire $v_{p_1,p_2,q_1,q_2}$ définie de cette manière :

$v_{p_1,p_2,q_1,q_2}(a_{p_1,p_2}) = b_{q_1,q_2}$

$v_{p_1,p_2,q_1,q_2}(a_{p_1',p_2'}) = 0$ pour tout $(p_1,p_2) \neq (p_1',p_2')$ .

Il est clair que cette famille constitue une base du module $\mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2)$ . ψ envoie une base sur une base, c'est donc un A-isomorphisme.