Problème de Dirichlet

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En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert $\Omega\,$ de $\mathbb R^n$ prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l'ouvert $\Omega\,$ . Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

[modifier] Exposé du problème

Soit $\Omega \,$ un ouvert de $\mathbb R^n$

Soit $G : \partial \Omega \mapsto \mathbb R$ continue ( $\partial \Omega$ est la frontière de $\Omega \,$ )

Peut-on trouver $\Phi : \Omega \mapsto \mathbb R$ telle que :

$\Phi\,$ de classe $\mathcal C^2$ et $\nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_2^2} + ... + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_n^2} = 0$ ( $\Phi\,$ vérifie l'équation de Laplace)

$\Phi\,$ continue sur $\bar{\Omega }$

$\Phi = G\,$ sur $\partial \Omega$

Il n'existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet.

[modifier] Solutions au problème

[modifier] Exemple : solution sur un disque dans $\mathbb R^2$

Dans cette partie : $\Omega =D(0,1)\,$ Le disque de centre 0 et de rayon 1.

Dans le cas précis du disque dans $\mathbb R^2$ , il existe une solution au problème de Dirichlet :

On a toujours $G : \partial D \mapsto \mathbb R$ continue sur $\partial D$

On pose : $g : \begin{matrix} \Pi & \mapsto & \mathbb R \\ \theta & \mapsto & G(\cos \theta, \sin \theta) \end{matrix}$ (ou $\Pi\,$ est le thor)

La solution est $\Phi : D \mapsto \mathbb R$ definie telle que :

$\Phi(r\cos \theta ,r\sin \theta ) = \left\{\begin{matrix} \sum_{n \in \mathbb Z} C_n(g)r^{\left| n \right|}e^{ni \theta}, & \mbox{si } r<1\\ g(\theta ), & \mbox{si }r = 1 \end{matrix}\right.$

Où $C_n(g)\,$ est coefficent de la Série de Fourier de la fonction g.

$C_n(g) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi } g(\theta ) e^{-in \theta} d\theta$

Preuve :

La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson, liés aux séries de Fourier.

$\Phi \,$ vérifie l'équation de Laplace car elle en fait la partie réelle d'une fonction analytique. On remarque en effet que $\Phi \,$ s'exprime comme la somme de deux fonctions analytiques et qu'elle est réelle. Or la partie réelle d'une fonction analytique vérifie toujours l'équation de Laplace.

[modifier] Unicité de la solution

Lorsque le problème admet une solution, celle-ci est unique.

Preuve :

Soient $\Phi \,$ et $\Psi \,$ deux fonctions définies de $\Omega \,$ sur $\mathbb R$ telles que $\Phi \,$ et $\Psi \,$ répondent au problème de Dirichlet.

On pose $\omega = \Phi - \Psi \,$

Calculons $\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 dA \quad$ où $dA\,$ est un élément infinitésimal de $\mathbb R^n$

On obtient : $\int_{\Omega} ( \sum_{i=1}^n \frac{\partial (\omega \frac{ \partial \omega}{\partial x_i})}{\partial x_i} - \omega \nabla^2 \omega )dA$

Or $\nabla^2 \omega = \nabla^2 \Phi - \nabla^2 \Psi = 0 \,$

On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :

$\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 dA = \int_{\partial \Omega} \omega(\sum_{i=1}^n \frac{\partial \omega}{\partial x_i}s_i) dS \quad$ où $\vec s=(s_1,s_2,...,s_n)$ est le vecteur normal à la surface $\partial \Omega$ et $dS\,$ un élément infinitésimal de $\partial \Omega$

$\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 dA = 0 \quad$ car $\omega = 0 \,$ sur $\partial \Omega$

Conclusion :

$\sum_{i=1}^n (\frac{\partial \omega}{\partial x_i})^2 = 0$

et donc $\forall i=1,...,n\quad \frac{\partial \omega}{\partial x_i}=0$ , $\omega \,$ est constante, et par continuité $\omega = 0 \quad \,$ sur $\Omega \,$ car $\omega=0\,$ sur $\partial \Omega$

[modifier] Forme de la solution générale

On a l'équivalence suivante :

$\Phi \mbox{ solution au probl}\grave{\mbox{e}}\mbox{me de Dirichlet} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \forall \Psi \mbox{ continue et de classe } \mathcal C^n \mbox{ sur } \Omega \ \grave{a} \mbox{ valeur dans } \mathbb R \mbox{, prolongeant G} \\ \\ \displaystyle\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \Psi}{\partial x_i})^2 dA > \int_{\Omega} \sum_{i=1}^n (\frac{\partial \Phi}{\partial x_i})^2 dA \end{matrix}\right.$

Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire que l'unicité de la solution.

Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution. En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.