Pré-ordre
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Un pré-ordre (ou préordre[1]) est une relation binaire réflexive et transitive.
C'est-à-dire, si E est un ensemble, alors 
est un pré-ordre si et seulement si :
(réflexivité)![\forall (x, y, z) \in E^3 \quad \left[(x,y)\in {\mathcal R} \and (y,z)\in {\mathcal R} \implies (x,z)\in{\mathcal R}\right]](../../../../math/6/0/3/603e91a294f4ae2ef708ab515c3fc216.png)
(transitivité)
Un pré-ordre antisymétrique est un ordre.
Un pré-ordre symétrique est une relation d'équivalence.
[modifier] Exemples
- Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un pré-ordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.
- Dans un anneau commutatif, la relation «divise» est une relation de préordre.
[modifier] Compléments
Si E et F sont des ensembles préordonnés par des relations de préordre qu'on notera toutes deux 
, une application f de E dans F est dite[2] croissante si, pour toute paire d'éléments (x,y) de E tels que 
, on a aussi 
.
Dans un ensemble E préordonné par une relation de préordre , la relation « 
» est une relation d'équivalence. Pour deux éléments X et Y de l'ensemble quotient, les deux conditions suivantes reviennent au même :
- pour tout élément x de X et tout élément y de Y, ;
- il existe un élément x de X et un élément y de Y tels que .
Ces conditions équivalentes constituent une relation d'ordre dans l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence « »[3].
