Plan affine incident

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Dans une approche axiomatique de la géométrie, un plan affine incident est la donnée de points et de droites avec une relation d'appartenance des points aux droites, appelée incidence, vérifiant les axiomes d'incidence :

Deux points A et B sont incidents à une unique droite (notée (AB)), et toute droite possède au moins deux points distincts ;
Il existe au moins trois points non incidents à une même droite ;
Pour toute droite d et tout point A non incident à d, il existe une unique droite $d'$ incidente à A telle qu'aucun point ne soit incident aux deux droites $d$ et $d'$ .

[modifier] Parallélisme

Dans cette approche, une droite d est dite parallèle à $d'$ si ces deux droites sont confondues (égales) ou bien qu'il n'existe aucun point incident aux deux droites. Les droites $d$ et $d'$ s'intersectent en A si le point A est incident à $d$ et à $d'$ . L'unicité d'une droite incidente à deux points distincts implique que deux droites non parallèles s'intersectent en un unique point. On dispose de la dichotomie suivante :

Ou bien deux droites son parallèles ;
Ou bien elles s'intersectent en un unique point.

Deux droites parallèles qui s'intersectent sont nécessairement confondues. Dans ce cas, elles ont au moins deux points incidents en communs.

Le troisième axiome se reformule par l'existence et l'unicité d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.

Le parallélisme est une relation d'équivalence :

Par définition, toute droite est parallèle à elle-même ;
Si $d$ est parallèle à $d'$ , alors il est facile de constater que $d'$ est parallèle à $d$ ;
La transitivité se démontre par un raisonnement par l'absurde.

Supposons données trois droites $d$ , $d'$ et $d''$ telles que $d$ soit parallèle à $d'$ et que $d'$ soit parallèle à $d''$ , mais que $d$ et $d''$ ne soient pas parallèles. Les trois droites peuvent être supposées deux à deux non confondues. Dans ce cas, étant non parallèles, les droites $d$ et $d''$ s'intersectent en un unique point A. Comme le parallélisme est une relation symétrique, chacune des droites $d$ et $d''$ est parallèle à $d$ . Par unicité de la parallèle à une droite passant par un point, ces droites sont confondues, ce qui est contraire à l'hypothèse.

[modifier] Plus petit plan affine incident

S'il existe, un plan affine incident possède au moins quatre points distincts trois à trois non alignés.

En effet, pour commencer, il existe par le deuxième axiome au moins trois points distincts $'' A'','' B'','' C''$ non incidents à une même droite. En particulier, C n'est pas incident à la droite $(A B)$ . Par le troisième axiome, il existe une droite $d$ incidente à C parallèle à $(A B)$ . A nouveau par le premier axiome, il existe un point D distinct de C qui soit incident à $d$ . Comme d et $(A B)$ sont parallèles et non confondues, elles ne s'intersectent pas. Le point D est nécessairement distinct de A et de B, et mieux encore n'est pas non plus incident à $(A B)$ . Il s'en suit directement que les points $A, B, C, D$ sont deux à deux distincts et trois à trois non alignés.

Le plus petit plan affine incident $P 0$ est constitué de :

Quatre points distincts $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ;
Et six droites, une et une seule incidente à deux quelconques de ces quatre points.

La donnée de quatre points deux à deux distincts et trois à trois non alignés dans un plan infini incident P fournit une copie de $P 0$ .

[modifier] Remarque sur les modèles

La théorie des plans affines incidents est finiment axiomatisable. Elle demande l'utilisation d'au moins :

Un symbole de relation d'arité 1 permettant de distinguer les points et les droites ;
Un symbole de relation d'arité 2 permettant de définir l'incidence.