Paradoxe d'Ostrogorski

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Le paradoxe d'Ostrogorski peut se produire durant les élections. Supposons un pays avec deux partis politiques, notés D et G, et trois thèmes, notés 1, 2 et 3.

	1	2	3	vote
20%	G	G	D	G
20%	G	D	G	G
20%	D	G	G	G
40%	D	D	D	D
Voir : Jean-François Laslier, Le vote et la règle majoritaire, 2004

Le tableau se lit ainsi: première ligne, 20% des électeurs soutiennent l'avis de G pour les thèmes 1 et 2 et l'avis de D pour le thème 3. Les 20% votent donc pour le parti avec lequel ils sont d'accord sur le plus grand nombre de thèmes, c'est à dire G. On constate qu'alors que G adopte la position minoritaire sur chacun des thèmes, il est majoritaire (60%). C'est ce que l'on appelle paradoxe d'Ostrogorski.

Condition nécessaire et suffisante pour ne pas avoir de paradoxe d'Ostrogorski: si on considère que les deux positions possibles pour chaque thème sont oui et non, alors, si l'on note pour chaque individu i O(i) les thèmes pour lesquels l'individu est favorable, et N(i) les projets pour lesquels l'individu i est défavorable, il faut et il suffit que pour tout couple d'individus i,j, soit O(j) est inclus dans O(i), soit O(j) est inclus dans N(i).

Probabilité du paradoxe d'Ostrogorski, en considérant qu'il y a une chance sur deux pour que l'électeur préfère une réponse d'un parti, et une chance sur deux pour que l'électeur préfère l'autre réponse de l'autre parti: Si on note P(a,b), a et b impairs, a étant le nombre de thèmes, b le nombre d'électeurs, la probabilité qu'il y ait paradoxe d'Ostrogorski, il est clair que: P(a,b)=P(b,a).

Quelques valeurs:

exactes

P(3,3)=72/512=9/64

P(3,5)=P(5,3)=5880/32768=735/4096

approximatives

P(5,5)=0.21-0.215