Modèle OUV

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[modifier] Finance

Modèle OUV (Ornstein, Uhlenbeck, Vasicek) est utilisé pour calculer les options sur taux.

[modifier] Mathématique

Nommé après Leonard Salomon Ornstein et George Eugene Uhlenbeck et qui est aussi connu sous le nom de mean-reverting process, le processus $r$ est un processus Ornstein-Uhlenbeck (OU), si son équation différentielle stochastique (EDS) est de la forme:

$dr_t = -\theta (r_t-\mu)\,dt + \sigma\, dW_t,\,$

où θ, μ et σ sont des parametres déterministes et W_t dénotes du processus Wiener.

Trois examples du procédé OU avec θ=1, μ=1.2, σ=0.3:
Bleu: Valeur initiale a=0 (a.s.)
Vert: Valeur initiale a=2 (a.s.)
Rouge: Valeur initiale distributée normalement ainsi le procédé à une mesure invariante

[modifier] Solution

Cette équitation est résolue par variation de paramètres. Appliquer Itō's lemma à la fonction $f (r t, t) = r t e θ t$ pour obtenir

$df(r_t,t) = \theta r_t e^{\theta t}\, dt + e^{\theta t}\, dr_t\,$

$= e^{\theta t}\theta \mu \, dt + \sigma e^{\theta t}\, dW_t. \,$

Integrer de 0 à t on obtient

$r_t e^{\theta t} = r_0 + \int_0^t e^{\theta s}\theta \mu \, ds + \int_0^t \sigma e^{\theta s}\, dW_s \,$

de quoi nous voyons

$r_t = r_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + \int_0^t \sigma e^{\theta (s-t)}\, dW_s. \,$

Ainsi, le premier moment (mathématique) est donné par (en assumant que $r 0$ est une constante),

E (r t) = r 0 e - θ t + μ(1 - e - θ t).

$s \wedge t = \min(s,t)$ On peut utiliser Itō isométrie pour calculer la covariance

$\operatorname{cov}(r_s,r_t)= E[(r_s - E[r_s])(r_t - E[r_t])]$

$= E[\int_0^s \sigma e^{\theta (u-s)}\, dW_u \int_0^t \sigma e^{\theta (v-t)}\, dW_v ]$

$= \sigma^2 e^{-\theta (s+t)}E[\int_0^s e^{\theta u}\, dW_u \int_0^t e^{\theta v}\, dW_v ]$

$= \frac{\sigma^2}{2\theta} \, e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s \wedge t)}-1).\,$

C'est aussi possible (et souvent commode) de représenter $r t$ (sans réserve) en tant que mesure transformé du temps le processus Wiener :

$r_t=\mu+{\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}$

ou condition (donné $r 0$ ) comme

$r_t=r_0 e^{-\theta t} +\mu (1-e^{-\theta t})+ {\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}.$

Le procédé Ornstein-Uhlenbeck (un exemple du procédé Gaussien à variance lié) admet un procédé stationnaire à distribution probable, en opposition au procédé Wiener.

L'intégrale Temps du procédé peut être utilisée pour générer du bruit avec a 1/f pouvoir spectrum.