Fonction multiplicative
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En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f de l'ensemble des entiers naturels non nuls dans lui-même vérifiant les deux conditions suivantes :
- f(1)=1 ;
- Pour tous entiers premiers entre eux a et b, on a : f (a.b) = f(a).f (b).
Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :
- g(1)=1 ;
- Pour tous entiers a et b quelconques, on a : g(a.b)=g(a).g(b).
Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative pour fonction complètement multiplicative.
Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.
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[modifier] Détermination et exemples
Une fonction multiplicative f est entièrement déterminée par les valeurs de f en les puissances des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier naturel s'écrit comme produit de facteurs premiers, unique à permutation des termes près. Si n est un entier, on a :
où l'entier vp(n) est uniquement déterminé par n et s'appelle la valuation p-adique de n. En appliquant f, il vient :
- .
Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite d'entiers indexées par les puissances des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.
Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :
- .
Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions multiplicatives.
En général, si f est une fonction multiplicative et si a, b sont deux nombres entiers naturels non nuls quelconques, alors on a :
- ,
où pgcd est le plus grand commun diviseur et ppcm est le plus petit commun multiple des entiers.
[modifier] Exemples
La liste suivante fournit des fonctions multiplicatives dont l'intérêt est historique et/ou théorique :
- φ : la fonction φ d'Euler, qui associe à tout entier positif n le nombre d'entiers naturels premiers avec n et inférieurs à cet entier naturel,
- μ : la fonction de Möbius, relative au nombre de facteurs premiers des entiers sans carré,
- n↦pgcd(n,m) : qui à l'entier n associe le plus grand commun diviseur des entiers m et n, m étant fixé,
- d : qui associe à un entier naturel n, le nombre de diviseurs positifs de n,
- σ : qui associe à un entier n la somme de tous les diviseurs positifs de n,
- σk : qui associe à un entier n, la somme des puissances k-ièmes de tous les diviseurs positifs de n (où k peut être un nombre complexe quelconque). Dans les cas particuliers suivants nous avons
- σ0(n) = d(n) et
- σ1(n) = σ(n),
- 1 : la fonction constante, définie par (complètement multiplicative)
- Id : l'application identité, définie par (complètement multiplicative)
- Idk : la fonction puissance, définie par , où k est un entier naturel (ou éventuellement un nombre complexe) (complètement multiplicative). Nous avons les cas particuliers suivants
- Id0(n) = 1(n) et
- Id1(n) = Id(n),
- ε : la fonction définie par, ε(1) = 1 et pour tout entier naturel n>1, ε(n)= 0, parfois appelée élément neutre pour le produit de convolution de Dirichlet (complètement multiplicative).
- , l'application qui associe à un entier naturel n, le symbole de Legendre de n et p, où p est un nombre premier fixé (complètement multiplicative),
- λ : la fonction de Liouville, relative au nombre de facteurs premiers divisant un entier naturel n (complètement multiplicative).
- γ : définie par , où la fonction additive ω associe à un entier naturel n le nombre de nombres premiers distincts divisant n,
- Tous les caractères de Dirichlet sont des fonctions complètement multiplicatives.
Un exemple d'une fonction non multiplicative est la fonction arithmétique r2 qui à un entier n, associe le nombre de décompositions de n sous la forme d'une somme de deux carrés de nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, en tenant compte de l'ordre dans les écritures. Par exemple
- 1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2
et donc r2(1)=4≠1. Ceci prouve que la fonction n'est pas multiplicative. Cependant, est multiplicative.
[modifier] Séries de Dirichlet
[modifier] Produit de convolution
Si f et g sont deux fonctions multiplicatives, on définit une nouvelle fonction multiplicative f * g, appelée convolution de Dirichlet de f et g, comme suit :
- ,
où la somme portant sur tous les diviseurs positifs d de n.
En effet, introduisons n et m deux entiers premiers entre eux. Leurs décompositions en facteurs premiers ne comportent aucun nombre premier commun. Si d est un diviseur de n.m, alors tout diviseur premier p de d divise n.m et donc par le lemme d'Euclide ou bien n ou bien m. Par regroupement de facteurs premiers, l'entier d s'écrit de manière unique d=d1.d2 comme produit de deux nombres entiers premiers d1 etd2 divisant respectivement n et m. Par définition :
- .
Or, comme f et g sont elles-mêmes supposées multiplicatives :
- ,
- ,
- (f * g)(n.m) = (f * g)(n).(f * g)(m).
C'est précisément l'égalité attendue.
Avec cette opération, l'ensemble de toutes les fonctions multiplicatives se transforme en groupe abélien; l'élément neutre est ε.
Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :
- ε = μ * 1 (la formule d'inversion de Möbius)
- φ = μ * Id
- d = 1 * 1
- σ = Id * 1 = φ * d
- σk = Idk * 1
- Id = φ * 1 = σ * μ
- Idk = σk * μ
[modifier] Anneau de Dirichlet
La convolution de Dirichlet peut être définie pour des fonctions arithmétiques générales, et leur confère une structure d'anneau, l'anneau de Dirichlet.
Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série formelle :
Pour une fonction complètement multiplicative :
- .