Espaces de Hardy

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Lorsque $f$ est une fonction harmonique définie sur le disque unité $\mathbb{D}$ , il n'est pas toujours vrai que $f$ se prolonge sur $\partial \mathbb{D}$ . On aimerait savoir quand un tel prolongement existe.

[modifier] Noyau de Poisson

Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle de $\frac{1+z}{1-z}$

Le noyau de Poisson $P r$ est un noyau sommable, c’est-à-dire qu'il vérifie les conditions suivantes:

$\int_{\mathbb{T}} P_r(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi} = 1$
$\int_{\mathbb{T}} |P_r(e^{i\theta})|\frac{d\theta}{2\pi} < \infty$
$\forall \pi>\delta >0 \int_{\delta<|z|<\pi} P_r(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi} \to 0$ lorsque $r\to 1$

De plus, $P r (e i θ) = P (z)$ est une fonction harmonique. On peut montrer que tout noyau sommable K_n, vérifie la règle suivante:

$\forall \epsilon >0, \exists N, n>N \Rightarrow ||K_n*f-f||_p < \epsilon$ Dès que $f \in L^p$ et $1\leq p < \infty$ .

Ainsi, si $f\in L^p(\mathbb{T})$ , on a $Δ(P r * f) = (Δ P r) * f = 0$ et $h = p * f$ est une fonction harmonique dans le disque unité $\mathbb{D}$ . La question à se poser est alors de savoir si la réciproque de ce résultat est vraie. Notamment, étant donné une fonction harmonique $h$ , est-il toujours possible de trouver une fonction $f$ telle que $h = p * f$ ?

[modifier] Théorème de représentation

Notons $h^p(\mathbb{D})=\{h\in har(\mathbb{D}), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \}$ . On a le théorème de représentation suivant:

$f\in h^p(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists f^* \in L^p(\mathbb{T}), P*f^*=f$ pour $\infty\geq p>1$

$f\in h^1(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists \mu \in M(\mathbb{T})=C^0(\mathbb{T})^*, P*\mu=f$ .

Le problème qui survient est que la "valeur au bord" d'une fonction $f \in h^1$ , c’est-à-dire la limite dans $L^p(\mathbb{T})$ de $P r * f$ , n'est pas nécessairement une fonction, mais peut être une "vraie" mesure.