Espace R0
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En topologie, un espace symétrique (ou espace R0) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.
Sommaire |
[modifier] Définition
Soit E un espace topologique. E est un espace R0 si pour tout couple d'éléments topologiquement distincts x et y de E (c’est-à-dire qu'il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre), il existe un ouvert contenant x et pas y et un ouvert contenant y et pas x.
[modifier] Propriétés
Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- E est un espace R0.
- Pour tout x de E, la fermeture de {x} ne contient que les points dont x n'est pas topologiquement distincts.
- L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers les points dont x n'est pas topologiquement distincts.
- Le quotient de Kolmogorov de E est T1.
- Tout ouvert est l'union de fermés.
Un espace R0 qui est également T0 est T1.
[modifier] Exemples
- Soit
l'ensemble des entiers naturels. Pour tout 
, on définit Gx tel que 
si x est pair et 
si x est impair. L'ensemble des Gx définit une prébase sur ; une base peut être construite en considérant les intersections finies de ces sous-ensembles : l'ensemble des ouverts de type 
où A est un sous-ensemble fini de définissent une topologie . L'espace topologique ainsi créé est R0 ; il n'est en revanche pas T0 (et donc pas T1).
