Cube de Hilbert
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit ![K = \left[0,1\right]^{\mathbb N}](../../../../math/2/0/1/2018949361ab4610d25ec3e9d9c7f7fc.png)
muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.
Il est homéomorphe à ![\left[0,1\right] \times \left[0,\frac12\right] \times \left[0,\frac13\right] \times
\cdots](../../../../math/5/c/1/5c1978a7f54c943be56379ebc5c5e39f.png)
, ou à l'espace des suites 
, telles que 
, muni de la distance :
.
Il s'agit donc d'un espace métrisable.
Il est à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), et possède la propriété universelle suivante :
- « Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de K. »
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
