Construction de Wythoff

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En géométrie, une construction de Wythoff, nommée en l'honneur du mathématicien Willem Abraham Wythoff, est une méthode pour construire un polyèdre uniforme ou un pavage plan. Il en est souvent fait référence en tant que construction kaléidoscopique de Wythoff.

Elle est basée sur l'idée du pavage d'une sphère, avec des triangles sphériques. Si trois miroirs ont été placés, c’est-à-dire que leurs plans se coupent en un point unique, alors les miroirs entourent un triangle sphérique sur la surface d'une sphère quelconque centrée sur ce point et en répétant ces réflexions, on obtient une multitude de copies du triangle. Si les angles du triangle sphérique sont choisis de manière appropriée, les triangles paveront la sphère, une ou plusieurs fois.

Si on place un sommet à un point convenable dans le triangle sphérique entouré par les miroirs, il est possible de s'assurer que les réflexions de ce point produiront un polyèdre uniforme. Pour un triangle sphérique ABC, nous avons quatre possibilités qui produiront un polyèdre uniforme :

Un sommet est placé au point A. Ceci produit un polyèdre avec le symbole de Wythoff a|b c, où a égale π divisé par l'angle du triangle en A, et de manière similaire pour b et c.
Un sommet est placé sur un point du segment AB c’est-à-dire qu'il partage l'angle en C. Ceci produit un polyèdre avec le symbole de Wythoff a b|c.
Un sommet est placé sur le centre de ABC. Ceci produit un polyèdre avec un symbole de Wythoff a b c|.
Le sommet est sur un point tel que, lorsqu'il subit une rotation de deux fois l'angle à ce point autour d'un coin quelconque du triangle, il est déplacé de la même distance pour chaque angle. Seules les réflexions paires du sommet original sont utilisées. Le polyèdre a le symbole de Wythoff |a b c.

Le procédé en général s'applique aussi pour des polytopes réguliers de dimensions plus élevées, incluant les polychores uniformes quadri-dimensionnels.

Article détaillé : symbole de Wythoff.

[modifier] Références

Coxeter Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction)
Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
W.A. Wythoff, A relation between the polytopes of the C600-family, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences, 20 (1918) 966–970.