Discuter:Compacité séquentielle

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Bon article au niveau 2e cycle. Faut-il en prévoir un plus savant (un autre article, ou une section supplémentaire ?) où on parlerait par exemple des topologies faibles (quitte à créer des liens vers certains articles d'analyse fonctionnelle ou de théorie de la mesure). Quelques critiques :
1) Il manque la stabilité pour l'intersection de familles quelconques
2) Il est exact qu'un espace métrique compact est séparable, mais il est mieux que cela, il est à base dénombrable et il y a un monde entre les deux propriétés (le compactifié de Stone-Cech de N est séparable alors que sa cardinalité est celle de P(R)) - voir ce que j'ai mis dans la discussion de espace séparable.
3) La cardinalité d'un espace métrique compact est ou dénombrable (fini ou infinie) ou celle du continu - ici, pas de problème d'hypothèse du continu, et le résultat est d'ailleurs dû à Cantor lui-même sauf erreur. CD 22 jan 2005 à 15:32 (CET)

[modifier] définition

la définition mathématique utilise les recouvrements d'ouvert ? je pensais que ca s'etait le théorème de Borel-Lebesgue et que la définition elle même se fait avec des suites/sous suites (c-a-d avec le théorème de Bolzano-Weierstrass) ? Quasar 23 jun 2005 à 10:01 (CEST)

Attention, la définition choisie par le contributeur initial est une définition topologique générale. Le traitement avec les suites n'est possible que dans le cas particulier d'espace métrique, qui est d'ailleurs le contexte du théorème de Bolzano-Weierstrass. La rédaction du théorème de Borel-Lebesgue est donc incohérente vis à vis de la rédaction de cet article, puisque la définition devient un théorème. Jean-Luc W 27 novembre 2005 à 23:59 (CET)

[modifier] Fermé borné => compact?

J'essaye de me remettre un peu aux maths après bien des années, et entre autre de retrouver/comprendre la démonstration fermé borné => compact. J'ai beau relire celle qui est donnée, et y avoir corrigé quelques fautes d'orthographe, j'ai bien du mal à m'y retrouver. Elle ne pourrait pas être réécrite de manière, disons, plus spécifique? David Olivier

C'est une démonstration topologique. Comme d'habitude, elle est courte et astucieuse, ce qui caractérise beaucoup de démonstrations topologiques pures (par pures j'entend qui n'utilise pas la notion de distance). La première idée est la suivante, pas la peine de démontrer le cas général, il suffit de démontrer le cas des segments (car tout fermé borné est inclu dans un segment. Ensuite on peut remarquer que les seul sous-ensembles à la fois ouverts et fermés d'un intervalle de R muni de sa topologie induite sont l'ensemble vide est le segment lui-même. Donc il suffit de trouver une partie non vide qui est à la fois ouverte et fermé et qui contient un recouvrement fini. L'idée est alors de considérer l'union des intervalles [a,x] ou x est plus petit que b et qui contient un recouvrement fini. Cet union contient a, est un ouvert car chaque élément est inclu dans un intervalle ouvert élément du recouvrement fini. Il est fermé car il contient ses bornes a par définition et x car il existe un ouvert élément de recouvrement. Est-ce plus clair? Jean-Luc W 29 mars 2006 à 08:56 (CEST)

Ben heu non c'est pas plus clair. Déjà, quand tu dis ici: «il suffit de démontrer le cas des segments (car tout fermé borné est inclu dans un segment).» (Tu as oublié en fait de fermer la parenthèse, je suppose qu'elle se ferme là.) Mais je ne vois pas pourquoi cela autorise à se contenter de montrer qu'un segment est compact; à moins qu'on ait déjà démontré que toute partie fermée d'un compact est compacte? Ah oui, c'est marqué au-dessus.

De manière plus générale, il y a là beaucoup qui est écrit de style télégraphique. Topologie pure ou pas, il est facile de rendre toute démonstration courte et astucieuse si on n'en donne qu'une ébauche et aussi qu'on se permet tous les abus de langage. (Ex.: «E admet comme voisinage son recouvrement fini» - il faut comprendre par là l'union des membres du recouvrement fini? Un des membres du recouvrement fini? Quel recouvrement fini, d'ailleurs, celui de [a,x], sans doute?)

Bon, cette démonstration paraît sans doute claire, courte, astucieuse et élégante à un mathématicien professionnel. Mais je doute qu'un mathématicien professionnel ait besoin de venir la chercher sur cette page. Ça devrait donc plutôt s'adresser à un mathématicien en herbe, ou en regain, comme moi. Donc rédigée de manière plus ouverte, au risque d'être moins compacte.

Je râle, mais en m'inspirant de ce que tu as mis j'ai fini par concocter un démonstration en 4 pages manuscrites. Je vais voir si j'arrive à la rédiger assez bien pour la mettre en place.

David Olivier

Beaucoup de vrai dans ce que tu dis, hélas je ne m'en rend pas compte à la rédaction. j'ai rédigé à nouveau la partie incompréhensible. Tu as raison quand tu dis que l'article doit s'adresser à quelqu'un comme toi. Je te présente mes excuses, pour mes ellipses, elles sont involontaires. L'avantage de WP c'est qu'il faut des gens comme toi et moi pour obtenir une rédaction finalement passable. 4 pages c'est probablement trop, mais mon style pas assez. Bonne chance et je reste à ta disposition pour tout éclaircissement. Jean-Luc W 2 avril 2006 à 01:45 (CEST)

J'ai apporté quelques retouches de forme. Je reste encore perplexe devant la phrase «E est ouvert dans F car tout point x de E admet comme voisinage un intervalle ouvert contenant x contenu dans l'ouvert du recouvrement fini contenant x, et cet intervalle est naturellement contenu dans E.» En effet, il apparaît par la suite que E est égal à l'intervalle [a,b], et cette phrase ne peut être vraie pour x = a ou b! David Olivier 2 avril 2006 à 20:16 (CEST)

Je crains que tu ne sois pas le seul, je ne suis pas doué en rédaction :) Jean-Luc W 2 avril 2006 à 21:45 (CEST)

[modifier] Plan de l'article

Ma remarque s'applique en fait aux différents articles de topologie. Je trouve qu'on arrive directement aux définitions générales en omettant la difficile genèse des notions. Ce n'est pas gênant pour un article technique, mais je pense qu'une notion première comme celle de compact mérite un traitement plus soft. Je propose d'arriver à la définition plus en douceur, en faisant observer (sans démo) les propriétés topologiques d'une certaine gamme d'objets de référence

les segments de la droite réelle (en signalant que la connexité n'est pas ce qu'on cherche à généraliser, mais les propriétés des suites, des fonctions continues, de recouvrement)
les pavés en dim finie et les fermés contenus dans les pavés
dans un espace vectoriel en dim finie ou non : exemple de la boule unité, exemple de compact en dim infinie

--> sur ces premiers exemples on parlerait surtout des propriétés métriques, mais on peut présenter aussi la propriété de recouvrement par un dessin. On peut donner Heine comme application pigeable

Et une fois ce travail fait, on peut déchaîner la théorie générale

Il restera aussi à pousser l'aspect analyse fonctionnelle (Ascoli). Peps 22 avril 2006 à 15:21 (CEST)

En fait, c'est toute la topo qui est à revoir, nous sommes ici victime de degré 0 vraiment 0. Mon idée c'est d'arriver à l'analyse fonctionnelle. Le chemin c'est Algèbre linéaire, puis bilinéaire, puis analyse harmonique (qu'on ait au moins quelques exemples), puis topo, enfin analyse fonctionnelle et enfin ou pourra commencer les maths (si on y arrive un jour). Jean-Luc W 22 avril 2006 à 15:38 (CEST)

[modifier] Espace compact ?

Je me demande s'il est judicieux de titrer cet article Espace compact plutot que Compacité dans les espaces topologiques ? Ma crainte est de faciliter l'erreur qui consiste à considérer un espace métrique comme compact dans son ensemble (par exemple affirmer que $\mathbb{R}^n$ est compact, ce qui équivaut vu la dimension finie à ce qu'il soit fermé et ... borné !)