Potenssi

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee laskutoimitusta. Nimitystä potenssi käytetään myös seksuaalisesta kyvykkyydestä.

Eksponenttifunktioita.

Luku $a$ korotetaan $n$ :nteen potenssiin muodostamalla tulo, jonka tekijöinä on $n$ kappaletta lukua $a$ . Tätä laskutoimitusta merkitään $a n$ , joka luetaan "a:n n:s potenssi". Esimerkiksi luvun 2 kolmas potenssi on $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ .

Sisällysluettelo

1 Käsitteitä ja merkintätapoja
2 Eksponenttina positiivinen kokonaisluku
3 Nollas potenssi
4 Negatiiviset eksponentit
5 Rationaalinen eksponentti
- 5.1 Miksi kantaluvun on oltava positiivinen?
6 Irrationaalinen eksponentti
- 6.1 Vaihtoehtoinen määritelmä
7 Katso myös

[muokkaa] Käsitteitä ja merkintätapoja

Merkinnän $a n$ lukua $a$ kutsutaan kantaluvuksi ja lukua $n$ eksponentiksi. Luvun toista potenssia kutsutaan usein neliöksi ja kolmatta potenssia kuutioksi. Siis $42$ ja $43$ ovat luvun neljä neliö ja kuutio.

Erityisesti laskimissa käytetään luvun kymmenen potensseille erityistä merkintäänsä. Esimerkiksi $102$ merkitään 1E+2. Luku 1 on siis kerroin, kirjain E ilmoittaa, että on kyse kymmenen potensseista, ja +2 tarkoittaa kymmenenen positiivista eksponenttia kaksi. Vastaavasti merkittäisiin esimerkiksi $2,3 \cdot 10^6$ muodossa 2,3E+6.

[muokkaa] Eksponenttina positiivinen kokonaisluku

Edellä esitetty potenssin havainnollinen tulkinta voidaan kirjoittaa muodollisesti seuraavasti. Olkoon $a$ reaaliluku ja $n$ positiivinen kokonaisluku. Tällöin määritellään $a 1 = a$ ja $a^n = a \cdot a^{n-1}$ , kun $n \geq 2$ .

Tulon tekijöiden lukumääriä tarkastelemalla voidaan todistaa seuraavat laskusäännöt päteviksi, kun $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja sekä $m$ ja $n$ positiivisia kokonaislukuja:

$a^m a^n = a^{m+n}\,\!$
$\tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0, m > n)\,\!$
$(a^m)^n = a^{mn}\,\!$
$a^n b^n = (ab)^n\,\!$
$(\tfrac{a}{b})^n = \tfrac{a^n}{b^n} \qquad (b \neq 0)\,\!$

[muokkaa] Nollas potenssi

Potenssin tulkinta kertolaskun kautta ei kerro, mitä luvun nollas potenssi olisi: eihän ole olemassa tuloa, jossa on 0 tulon tekijää. Mikäli halutaan, että luku voidaan korottaa myös nollanteen potenssiin, täytyy sopia, mitä nollannella potenssilla tarkoitetaan.

Periaatteessa tämä sopimus voitaisiin tehdä täysin mielivaltaisesti, mutta useimmissa tapauksissa edellä esitetyt potenssin laskusäännöt eivät pätisi nollansilla potensseilla. Kun sovelletaan toista laskusääntöä potenssiin $a 0$ , jossa $a$ on nollasta eroava reaaliluku, saadaan

$a^0 = a^{1-1} = \tfrac{a^1}{a^1} = \tfrac{a}{a} = 1$ .

Siis luvun nollannen potenssin on oltava aina 1, mikäli halutaan laskusäännön $\tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ pätevän myös tapauksessa $m = n$ . Siksi määritellään

$a 0 = 1$

kaikilla nollasta eroavilla reaaliluvuilla $a$ . Näin määritellen myös muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa nollansille potensseille.

Luvun nolla nollannelle potenssille laskusäännöt eivät kuitenkaan anna vastaavia rajoitteita. Siksi $00$ onkin epämääräinen muoto eli se jätetään yleisesti määrittelemättä. Joissain erikoistapauksissa kuten binomikaavan ja potenssisarjojen yhteydessä määritellään kuitenkin toisinaan $00 = 1$ .

[muokkaa] Negatiiviset eksponentit

Samoin kuin nollas potenssi määritellään myös negatiiviset kokonaislukupotenssit pyrkimällä säilyttämään potenssin laskusäännöt. Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku ja $a$ nollasta eroava. Jotta sääntö $\tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ pätisi myös, kun $m < n$ , tulee olla

$a^{-n} = a^{0-n} = \tfrac{a^0}{a^n} = \tfrac{1}{a^n}.$

Toisin sanoen määritellään luvun $a$ $n$ :s negatiivinen kokonaislukupotenssi luvun $a n$ käänteisluvuksi. Näin määritellen ovat muutkin potenssin laskusäännöt voimassa negatiivisen kokonaislukueksponentin tapauksessa.

[muokkaa] Rationaalinen eksponentti

Seuraavaksi yleistetään potenssin käsite kaikille rationaalisille eksponenteille, jotta voidaan puhua esimerkiksi potensseista $2^{\frac{1}{3}}$ ja $3^{-\frac{5}{3}}$ . Vaaditaan yhä, että edellä esitellyt potenssin laskusäännöt säilyvät voimassa.

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku ja $a$ epänegatiivinen. Laskusäännön $(a m) n = a m n$ nojalla on määriteltävä siten, että

$(a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a.$

Siis $a^{\frac{1}{n}}$ on se luku, jonka $n$ :s potenssi on $a$ itse. Tällaista lukua kutsutaan luvun $a$ $n$ :nneksi juureksi. Määritellään sen tähden

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.$

Olkoon sitten $m$ mikä tahansa kokonaisluku. Vaatimalla, että potenssin potenssia koskeva laskusääntö pätee myös potenssille $a^{\frac{m}{n}}$ , saadaan

$a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$

Tämän mukaisesti määritellään siis $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ kaikilla $a > 0, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}_+$ . Myös kaikki muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa tällaisella rationaalisen eksponentin määrittelyllä.

[muokkaa] Miksi kantaluvun on oltava positiivinen?

Rationaalisen eksponentin tapauksessa on esitetty rajoitus $a > 0$ . Siis esimerkiksi $( - 1) 1 / 3$ ja $0 - 1 / 2$ eivät ole määriteltyjä lausekkeita. Jos kantaluvulle $a$ sallittaisiin negatiivisia arvoja, jouduttaisiin seuraavanlaiseen ristiriitaan:

$-1 = \sqrt[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1.$

Koska $-1 \neq 1$ , on joko kiellettävä murtolukueksponenttien laventaminen (ja myös supistaminen) tai sitten rajoituttava vain ei-negatiivisiin kantalukuihin. Jälkimmäinen valinta on luonnollisempi.

Myöskään nolla ei ole sovelias arvo rationaalipotenssin kantaluvulle. Jos nimittäin eksponentti on negatiivinen, päädytään jakamaan nollalla.

[muokkaa] Irrationaalinen eksponentti

Potenssiinkorotus on edellä määritelty siten, että eksponentti voi olla mikä rationaaliluku hyvänsä. Voidaan osoittaa, että mitä tahansa irrationaalilukua voidaan arvioida mielivaltaisen tarkasti rationaaliluvuilla. Siksi jokaista irrationaalilukua $r$ kohden on olemassa rationaalilukujen jono $q_1, q_2, q_3, \dots$ siten, että jono suppenee kohti lukua $r$ . Tällöin myös jono $a^{q_1}, a^{q_2}, a^{q_3}, \dots$ suppenee riippumatta positiivisesta reaaliluvusta $a$ . Irrationaalinen potenssi voidaan täten määritellä raja-arvona

$a^r = \lim_{i \rightarrow \infty} a^{q_i}.$

Voidaan osoittaa, että potenssin laskusäännöt ovat voimassa myös irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Näin on potenssiinkorotus määritelty kaikilla eksponentin reaalisilla arvoilla.

[muokkaa] Vaihtoehtoinen määritelmä

Irrationaalinen eksponentti voidaan määritellä myös infimumin ja supremumin avulla seuraavasti. Olkoon $r$ irrationaaliluku. Kun $a > 1$ , määritellään

$a^r = \inf \{ a^q \, | \, q \in \mathbb{Q} \ \textrm{ja} \ q > r \}.$