Neliöllinen keskiarvo

Wikipedia

Neliöllinen keskiarvo (engl. Quadratic mean, Root mean square, RMS) on matemaattinen käsite, joka tarkoittaa jonkin joukon tai jakauman keskiarvostamista. Termiä RMS käytetään tieteessä usein synonyyminä standardipoikkeamalle^[1], ja muun muassa sähkötekniikassa RMS-keskiarvostamalla lasketaan vaihtojännitteen tehollisarvo.

Neliöllinen keskiarvo muuttujalle $x\,\!$ määritellään seuraavalla tavalla:^[1]

$R(x) \equiv \sqrt{\left\langle x^2 \right\rangle},$

missä $\langle ... \rangle$ tarkoittaa aritmeettista keskiarvoa.

Määritelmää käyttäen saadaan diskreeteille jakaumille lauseke, joka on muotoa

$R(x) = \sqrt{\frac{\sum_{k=0}^N x_k^2}{N}}$

ja jatkuville jakaumille

$R(x) = \sqrt{\frac{\int P(x) x^2\, dx}{\int P(x)\, dx}}.$

Sisällysluettelo

1 RMS-keskiarvostaminen sähkötekniikassa
- 1.1 Vaihtojännitteen tehollisarvon johto
2 Lähteet

[muokkaa] RMS-keskiarvostaminen sähkötekniikassa

Sähkötekniikassa tehoja laskettaessa, kun käytössä on vaihtojännite (yhtä hyvin käytössä voisi olla myös vaihtovirta), halutaan yleensä huippujännitteen sijaan tietää vaihtojännitteen tehollisarvo. Näin siksi, koska vaihtojännite, joka ilmaistaan tehollisarvonsa avulla antaa kuormaan saman tehon kuin vastaavan suuruinen tasajännite. Tehollisarvo lasketaan vaihtojännitteestä keskiarvostamalla käyttämällä RMS-keskiarvostamista. Tämän vuoksi ammattipiireissä yleensä puhutaankin RMS-arvosta tehollisarvon sijaan.

[muokkaa] Vaihtojännitteen tehollisarvon johto

Tehollisarvo määritellään keskimääräisen tehon avulla. Tehon määritelmän ja Ohmin lain avulla hetkelliseksi tehoksi resistanssiin saadaan

$P = {v^2(t) \over R},$

missä $v (t)$ on jännitteen arvo tietyllä ajan hetkellä t ja R kuormavastuksen resistanssi.

Keskimääräiselle teholle saadaan lauseke integroimalla vaihtojännite ajan jakson T yli sekä jakamalla integroinnista saatu tulos jakson pituudella.

$P_{avg} = {1 \over R} \left({1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} v^2(t)\, dt\right) = {v^2_{rms} \over R},$

missä $t 0$ on ajan hetki tarkastelujakson alussa. Keskimääräinen teho on merkitty yhtä suureksi kuin tehollisarvoisesta jännitteestä $v r m s$ laskettu teho. Ratkaistaan jännitteen tehollisarvo ottamalla neliöjuuri.

$v_{rms} = \sqrt{{1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} \, v^2(t)\, dt}$

Tämä johdettu tehollisarvon laskentakaava on sama kuin olisi käytetty suoraan RMS-keskiarvostamista. Kaava on helppo muistaa, sillä lyhenne RMS kertoo suoraan laskutavan, Root-Mean-Square (neliöjuuri-keskiarvo-neliöinti). Kaavaa tarvitaan laskettaessa tehollisarvot erilaisille vaihtojännitteille, joista yleisimmin käytettyjä ovat siniaalto, kolmioaalto ja kanttiaalto.

[muokkaa] Tehollisarvo siniaallolle

Sinimuotoinen vaihtojännite on muotoa

$v(t) = V_0 sin(\omega t),\,\!$

missä $V 0$ on jännitteen amplitudi, t aika ja $ω$ kulmataajuus.

Tehollisarvon lauseke sinimuotoiselle jännitteelle on

$v_{rms,sin} = \sqrt{{1 \over T} \int_{0}^{T} \, V_0^2 sin^2\left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\, dt} = \frac{V_0}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{\int_{0}^{2 \pi} \, sin^2(t)\, dt}.$

Lausekkeen ensimmäisessä osassa kulmataajuus on muutettu muotoon $ω = 2π / T$ . Jälkimmäisessä osassa ajanjakson T paikalle on sijoitettu sinin jakson pituus, joka on $2π$ . Ajasta riippumaton jännitteen amplitudi on tuotu myös integraalin ulkopuolelle.

pls

Seuraavaksi käytetään hyväksi jo tunnettua sinin neliön integraalia:^[2]

$\int \, sin^2(x)\, dx = \frac {x}{2}-\frac{1}{4} sin(2 x) + C.$

Laskut suorittamalla saadaan, että sinimuotoisen jännitteen tehollisarvo on vaihtojännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kahdella.

$v_{rms,sin} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$

[muokkaa] Tehollisarvo kolmioaallolle

Kolmioaallon muotoinen vaihtojännite kuvassa punaisella. Sinisellä on piirretty tämä jännite korotettuna toiseen potenssiin.

Ideaalisen kolmioaallon yksi jakso, $T / 4$ verran viivästettynä, on alla olevan yhtälöryhmän mukainen. Aaltoa on viivästetty, jotta tehollisarvoa laskettaessa päästään vähemmällä integroinnilla. On myös hyvä huomata, että kolmioaalto muuttuu paraabelin muotoiseksi, kun se korotetaan toiseen potenssiin.

$v(t) = \begin{cases} \frac{4 V_0}{T} t&, \mbox{kun } -T/4 \le t < T/4 \\ -\frac{4 V_0}{T} t+2 V_0&, \mbox{kun } T/4 \le t \le 3T/4 \end{cases}$

Kolmioaallon jännitteen tehollisarvo on jännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kolmella.

$v_{rms,kolmio} = \frac{V_0}{\sqrt{3}}$

[muokkaa] Tehollisarvo kanttiaallolle

Ideaalinen kanttiaalto yhden jakson verran on muotoa:

$v(t) = \begin{cases} V_0 &, \mbox{kun } 0 \le t < T/2 \\ -V_0 &, \mbox{kun } T/2 \le t \le T \end{cases}$

Kanttiaallon jännitteen tehollisarvo on sama, kuin aallon huippujännitteen itseisarvo.

$v_{rms,kantti} = V_0\,\!$

[muokkaa] Lähteet

↑ ^1,0 ^1,1 Eric W. Weisstein: Wolfram MathWorld 6 huhtikuuta 2007. Wolfram Research. Viitattu 25. huhtikuuta 2007.
↑ Adams, Robert A. (Robert Alexander): Calculus: a complite course, 5th ed.. Addison Wesley Longman, 2003. ISBN 0-201-79131-5.

Luokat: Matematiikka | Sähkötekniikka

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Neliöllinen keskiarvo

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] RMS-keskiarvostaminen sähkötekniikassa

[muokkaa] Vaihtojännitteen tehollisarvon johto

[muokkaa] Tehollisarvo siniaallolle

[muokkaa] Tehollisarvo kolmioaallolle

[muokkaa] Tehollisarvo kanttiaallolle

[muokkaa] Lähteet

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä