Mitta

Wikipedia

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mittaa tarvitaan lisäksi mm. integraalilaskennan teoriassa.

Sisällysluettelo

1 Määritelmä
2 Ominaisuuksia
3 Ulkomitan määräämä mitta
4 Nimityksiä
5 Erityisiä mittoja
6 Katso myös

[muokkaa] Määritelmä

Merkitään $[0,\infty ] = [0,\infty [ \, \cup \, \{ +\infty \}$ (ks. laajennettu reaalilukualue). Oletetaan, että $X$ on joukko ja $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ sigma-algebra. Nyt funktiota $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty ]$ kutsutaan mitaksi jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

Tyhjän joukon mitta on nolla, eli $\mu(\emptyset ) = 0$
Jos joukot $A_i \in \mathcal{A}$ , $i \in \N$ , ovat erillisiä, niin $\mu \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) = \sum_{i \in \N} \mu (A_i)$ .

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai $σ$ -additiivisuudeksi.

Jos $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty ]$ on mitta joukossa $X$ , niin kutsumme kolmikkoa $(X,\mathcal{A},\mu )$ mitta-avaruudeksi. Joukkoa X kutsutaan tällöin perusjoukoksi.

[muokkaa] Ominaisuuksia

Monotonisuus: jos $A,B \in \mathcal{A}$ ja $A \subset B$ , niin $\mu (A) \leq \mu (B).$

Subadditiivisuus: jos $A_i \in \mathcal{A}$ , $i \in \N$ (eivät välttämättä erillisiä), niin $\mu \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \leq \sum_{i \in \N} \mu (A_i).$

Konvergenssilauseet:

Jos $B_i \in \mathcal{A},$ $i \in \N ,$ ja $B_1 \subset B_2 \subset ...$ , niin $\mu \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu (B_i).$
Jos $C_i \in \mathcal{A},$ $i \in \N ,$ $C_1 \supset C_2 \supset ...$ ja $\mu (C_1) < \infty$ , niin $\mu \left( \bigcap_{i = 1}^\infty C_i \right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu (C_i).$

[muokkaa] Ulkomitan määräämä mitta

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan ns. Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

[muokkaa] Nimityksiä

Joukkoa $N \subset X$ kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos $μ(N) = 0$ .

Ominaisuuden $P$ sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde on μ-nollamittainen.

Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaaliluvut joissa on määritelty Lebesguen mitta, ovat σ-äärellisiä mutta eivät äärellisiä. Tarkastellaan suljettuja välejä $[k, k + 1]$ kaikilla kokonaisluvuilla $k$ . Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on $1$ , ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan toisaalta reaalilukuja joissa on annettu lukumäärämitta, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän. Tämä mitta ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista.

[muokkaa] Erityisiä mittoja

Mittaa $μ$ sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen $μ$ -nollamittaisen joukon osajoukko sigma-algebran jäsen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

Jos lisäksi joukossa X on metriikka d, niin mittaa $μ$ sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta $d (A, B) > 0$ seuraa ominaisuus $\mu (A \cup B) = \mu (A) + \mu (B)$ kaikilla $A,B \in \mathcal{A}$ .