Jordanin–Hölderin lause

Wikipedia

Jordanin–Hölderin lause on ryhmäteorian lause, joka on nimetty Camille Jordanin ja Otto Hölderin mukaan. Lauseen mukaan annetun ryhmän Jordanin–Hölderin jonot ovat ekvivalentit. Jordan todisti, että tekijöiden mahtavuudet ovat invariantteja vuonna 1869 ja Hölder todisti tekijöiden isomorfisuuden vuonna 1889. Vuonna 1927 Schreier löysi lauseelle yksinkertaisemman todistuksen, joka perustui Schreierin lemmaan. Vuonna 1934 Zassenhaus paransi Screierin todistusta, ja hän todisti lauseen Zassenhausin lemman avulla.

[muokkaa] Todistus

Olkoon G ryhmä ja Σ₁ ja Σ₂ G:n Jordanin–Hölderin jonot. Schreierin lemman nojalla on olemassa ekvivalentit kompositiojonot ja , jotka ova hienompia kuin jonot Σ₁ ja Σ₂. Mutta koska Σ₁ ja Σ₂ ovat Jordanin–Hölderin jonoja, ne saadaan jonoista ja poistamalla ne ryhmat, jotka esiintyvät jonossa useammin kuin kerran, Siten jonot Σ₁ ja Σ₂ ovat ekvivalentit.