Grandin sarja
Wikipedia
Grandin sarja on matematiikassa ääretön sarja 1 − 1 + 1 − 1 + … eli
.
Se on nimetty italialaisen matemaatikon, filosofin ja papin Guido Grandin mukaan. Hän tutki sarjaa merkittävästi vuonna 1703. Se on divergentti sarja, mikä tarkoittaa, ettei sarjalla ole varsinaista summaa. Sen Cesàron summa on 1⁄2.
[muokkaa] Käsittely
Eräs tapa käsitellä sarjaa
- 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
on eritellä sarja siten, että saadaan erillisiä erotuslaskuja:
- (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
Toisaalta samankaltainen menetelmä johtaa toiseen tulokseen:
- 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
Grandin sarjan "arvo" riippuu siis siitä, miten sulkumerkit sijoitetaan, ja "arvoksi" voi tulla joko 0 tai 1.
Kohtelemalla Grandin sarjaa divergenttinä geometrisena sarjana voidaan käyttää algebrallisia menetelmiä, jotka määrittävät konvergentille geometriselle sarjalle kolmannen arvon:
- S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, joten
- 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S, joten
- 1 = 2S,
josta saadaan S = 1⁄2.
