Derivaattaryhmä
Wikipedia
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä tai viitteitä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia lähteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa. |
Tämän artikkelin tai sen osan määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin määritelmää. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. |
Ryhmän G kommutaattorien joukon generoimaa aliryhmää kutsutaan G:n derivaattaryhmäksi, derivoiduksi ryhmäksi, kommutaattorialiryhmäksi tai pelkästään derivaataksi. Sitä merkitään yleensä merkinnällä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G) tai DG. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa , missä ja kaikilla .
Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:
Tämän perusteella ja G / G' on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.
[muokkaa] Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät
Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät määritetään induktiivisesti. Ryhmän G kertalukua 2 oleva derivaattaryhmä G on ryhmän G' derivaattaryhmä. Yleisesti kertalukua k olevaa derivaattaryhmää merkitään G(k) ja se on ryhmän G kertalukua k-1 olevan derivaattaryhmän G(k-1) derivaattaryhmä, missä k on lukua 1 suurempi positiivinen kokonaisluku.
[muokkaa] Derivoitu ketju
Ryhmän G derivoitu ketju on ääretön jono . Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa G(n) = G(n + 1) = ···. Jos tällöin G(n) = {1}, sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.